- •Пример вычисления дпф
- •Амплитудная и фазовая информация
- •B. Частотный интервал и симметрия дпф/бпф
- •Четное число выборок
- •Нечетное число выборок
- •Быстрое преобразование Фурье
- •Дополнение нулями
- •C. Спектр мощности
- •Экспресс-вп Измерения спектра
- •E. Характеристики различных типов спектральных и временных окон
- •Rectangular (Прямоугольное)
- •H. Идеальные фильтры
- •Влияние фильтров на частотное содержимое сигнала
- •I. Реальные (неидеальные) фильтры
- •Переходная полоса фильтра
- •Неравномерность полосы пропускания и ослабление в полосе режекции
- •J. Преимущества цифровых фильтров перед аналоговыми
- •K. Бих и ких фильтры
- •L. Бих фильтры
- •Реальные бих фильтры
- •Фильтры Баттерворта
- •Фильтры Чебышева
- •Фильтры Чебышева II типа или инверсные фильтры Чебышева
- •Эллиптические фильтры
- •Фильтры Бесселя
- •M. Сравнение бих фильтров
- •Примечания
Занятие 6
О бработка сигналов
На этом занятии изучаются основы цифровой обработки сигналов.
Задачи:
A. Познакомиться с дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и быстрым преобразованием Фурье (БПФ)
B. Изучить понятия амплитуды и фазы
C. Спектральные утечки энергии и сглаживающие окнах
D. Ознакомиться с фильтрацией и случаями, когда она необходима
E. Изучить различия между БИХ и КИХ фильтрами
A. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и быстрое преобразование Фурье (БПФ)
Выборки сигнала, полученные с помощью DAQ устройства, составляют представление сигнала во временной области (time-domain). Это представление дает зависимость амплитуды сигнала от времени, в течение которого происходила выборка. Однако во многих случаях вам скорее понадобится знать частотное содержимое сигнала, а не амплитуды отдельных выборок. Представление сигнала на основе его отдельных частотных компонент известно как представление сигнала в частотной области (frequency-domain). Это представление дает лучшее понимание природы сигнала и системы, которая его сгенерировала.
Алгоритм, используемый для преобразования выборок данных из временной области в частотную, известен как дискретное преобразование Фурье или ДПФ (discrete Fourier transform – DFT). ДПФ устанавливает взаимосвязь между выборками сигнала во временной области и их представлением в частотной области. Это показано на следующей иллюстрации. ДПФ используется в спектральном анализе, прикладной механике, медицинской интроскопии, численном анализе, приборостроении, телекоммуникации и других областях.
Если вы получили N выборок сигнала с помощью DAQ устройства и затем применяете к N выборкам временного представления сигнала ДПФ, то результатом будут также N выборок, но содержащаяся в них информация будет находиться в частотной области.
Если выборка сигнала происходила с частотой fs Гц, то временной интервал между выборками (интервал дискретизации) равен Δt, где
Оцифрованный сигнал обозначается как x[i], 0 ≤ I ≤ N – 1(то есть всего имеется N выборок). Когда дискретное преобразование Фурье, вычисляемое по формуле
, для k = 0, 1, 2, …, N – 1, (6-1)
( где j – комплексная единица) применяется к этим N выборкам, то в результате (X[k], 0 ≤k ≤N – 1) получается представление x[i] в частотной области. Обратите внимание, что представления сигнала и во временной и в частотной областях имеют N выборок. Подобно тому, как во временной области промежуток между выборками был равен Δt, так и в частотной области существует частотный интервал
между компонентами X. Δf известен также как разрешение по частоте. Чтобы увеличить частотное разрешение (меньшие Δf), нужно либо увеличить количество выборок N при неизменной частоте выборки fs, либо уменьшить частоту выборки fs при неизменном количестве выборок N.
Пример вычисления дпф
Предположим, что X[0] соответствует постоянному смещению (или среднему значению) сигнала. Для вычисления ДПФ осциллограммы по формуле 6-1, рассмотрим постоянный сигнал с амплитудой +1 вольт. На следующей иллюстрации представлены четыре выборки такого сигнала.
Каждая из выборок имеет величину +1, что дает временную последовательность
x[0] = x[1] = x[2] = x[3] = 1
Используя уравнение 6-1 для вычисления ДПФ этой последовательности и применяя тождество Эйлера,
получим:
Кроме постоянной компоненты, X[0], все другие равны нулю, как и ожидалось. Однако, вычисленное значение X[0] зависит от величины N (числа выборок). Поскольку у нас было N = 4, X[0] = 4. Если бы N = 10, то мы бы получили X[0] = 10. Эта зависимость X[.] от N возникает также для всех остальных частотных компонент. Обычно результат ДПФ делят на N для получения правильной амплитуды частотной компоненты.
Амплитудная и фазовая информация
Как вы уже видели, N выборок входного сигнала дают в результате N выборок ДПФ. То есть число выборок временного и частотного представлений одинаково. Из уравнения 6-1 видно, что вне зависимости от того является ли исходный сигнал x[i] действительным или комплексным, X[k] всегда будет комплексным, хотя мнимая часть может быть равной нулю. Поскольку ДПФ – комплексное, оно содержит две части информации – амплитуду и фазу. Для действительных сигналов (x[i] – действительные), полученных, например, с выхода канала DAQ устройства, ДПФ – симметрично относительно индекса N/2 со следующими свойствами:
и фаза = – фаза
Симметрия амплитуды X[k] известна как четная, а фазы (X[k]) – нечетная. Сигнал с четной симметрией такой, который симметричен относительно оси у, а сигнал с нечетной симметрией симметричен относительно начала координат. Следующий рисунок демонстрирует эту ситуацию.
Результирующий эффект этой симметрии заключается в повторении информации, содержащейся в N выборках ДПФ. Из-за этого повтора информации для вычисления или отображения ДПФ необходима только половина всех выборок. Другую половину выборок можно получить из первой.
|
Примечание. Если входной сигнал – комплексный, то ДПФ не будет симметричным, тогда и указанный метод неприменим. |
B. Частотный интервал и симметрия дпф/бпф
Поскольку интервал выборки равен t секунд, и предполагается, что первая (k = 0) выборка данных началась в 0 секунд, то k-ая (k > 0, k – целое) выборка данных произошла в kΔt секунд. Похожим образом разрешение по частоте, равное Δf, где , означает, что k-ая выборка ДПФ произошла на частоте kΔf Гц. Эти рассуждения справедливы для выборок с индексом большим половины всех выборок. Другая половина выборок представляет компоненты с отрицательной частотой. В зависимости от того четно или нечетно число выборок N, можно по-разному интерпретировать частоту, соответствующую k-ой выборке ДПФ.
Четное число выборок
Предположим, что N – четное и .
Следующая таблица показывает частоту, соответствующую каждому элементу комплексной результирующей последовательности X.
Элемент массива |
Соответствующая частота |
X[0] |
постоянная составляющая |
X[1] |
Δf |
X[2] |
2Δf |
X[3] |
3Δf |
. . . |
. . . |
X[p–2] |
(p–2)Δf |
X[p–1] |
(p–1)Δf |
X[p] |
pΔf (частота Найквиста) |
X[p+1] |
–(p–1)Δf |
X[p+2] |
–(p–2)Δf |
. . . |
. . . |
X[N–3] |
– 3Δf |
X[N–2] |
– 2Δf |
X[N–1] |
– Δf |
p-ый элемент X[p] соответствует частоте Найквиста. Отрицательные элементы во втором столбце, выходящие за пределы частоты Наквиста, представляют отрицательные частоты.
Например, если N = 8, p = N/2 = 4, тогда
X[0]DC
X[1] Δf
X[2]2Δf
X[3]3Δf
X[4]4Δf (частота Найквиста)
X[5]–3Δf
X[6]–2Δf
X[7]– Δf
X[1] и X[7], X[2] и X[6], X[3] и X[5] имеют попарно одинаковую амплитуду. Различие заключается в том, что X[1], X[2] и X[3] соответствуют положительным частотным компонентам, в то время как X[5], X[6] и X[7] – отрицательным. Обратите внимание, что X[4] находится на частоте Найквиста.
Следующий рисунок представляет эту комплексную последовательность при N = 8.
Такой тип представления, когда можно наблюдать и положительные и отрицательные частоты, известен, как двустороннее преобразование.