Комплексное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Запрос «Мнимая величина» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Re» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Запрос «Im» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. Мнимые числа^[2]), — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица^[3].

Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры). Это одна из главных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках — электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Содержание [убрать] 1 Определения 1.1 Стандартная модель 1.2 Матричная модель 1.3 Замечания 2 Действия над комплексными числами 3 Геометрическая модель 4 Связанные определения 4.1 Модуль и аргумент 4.2 Сопряжённые числа 5 Представление комплексных чисел 5.1 Алгебраическая форма 5.2 Тригонометрическая и показательная формы 5.3 Формула Муавра и извлечение корней из комплексных чисел 6 История 7 Вариации и обобщения 8 Функции комплексного переменного 9 См. также 10 Примечания 11 Литература 12 Ссылки

Определения

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z² + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z² + 1.

Стандартная модель

Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:

• 

• 

Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой единица — а мнимая единица — На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен , то есть − 1.

Несложно показать, что определённые выше операции имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами. Исключением являются только свойства, связанные с отношением порядка (больше-меньше), потому что расширить порядок вещественных чисел, включив в него все комплексные числа так, чтобы операции по-прежнему были согласованы с порядком, невозможно.

Матричная модель

Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида

с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать

мнимой единице —

Замечания

Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x² = − 1, так как число ( − i) также удовлетворяет этому уравнению.

Следует также заметить, что выражение , ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

в то время как правильный ответ:

Действия над комплексными числами

• Сравнение

a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

• Сложение

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.

• Вычитание

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.

• Умножение

• Деление

Геометрическая модель