4. Правила дифференцирования.
1. Дифференцирование суммы, произведения, частного и обратной функции.
Если функции
и
дифференцируемы в точке
,
то в этой точке дифференцируемы функции
(при условии, что
)
и при этом
,
(1)
,
(2)
,
.
(3)
Следствие 1:
если функция f
дифференцируема в точке ч и
– постоянная, то, т.е. постоянный множитель
можно выносить из-под знака дифференцирования.
Если функция
непрерывна и строго возрастает (убывает)
на отрезке
,
,
и если существует
,
то функция
,
обратная к функции
,
дифференцируема в точке
,
причём
.
(6)
Дифференцирование сложной функции.
Теорема 3:
Если функция
и
дифференцируемы соответственно в точках
x0
и y0
, где
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
,
причём
(8)
Примеры
Задание 4.
Найти производную
.
Решение: Применим формулы дифференцирования частного и сложной функции. Получим:
Задание 4. Найти производную от функции
.
Решение:
Перепишем функцию в виде:
.
Применим формулу дифференцирования сложной функции. Получим:
№6 Найти производную от функции
y=
.
Перепишем функцию в виде:
.
Применим формулу дифференцирования сложной функции. Получим:
Задание 5. Найти производную от функции
.
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 6. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования сложной функции. Получим:
Задание 8. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы, частного и сложной функции. Получим:
Задание 9. Найти производную от функции
.
Решение: Перепишем
функцию в виде:
.
Применим формулы дифференцирования
суммы и сложной функции. Получим:
Задание 10. Найти производную от функции
.
Решение: Применим логарифмическое дифференцирование. Получим:
Задание 11. Найти производную от функции.
.
Решение: Перепишем
функцию в виде:
Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 12. Найти производную от функции
.
Решение: Применим формулы дифференцирования суммы и сложной функции. Получим:
Задание 13. Найти производную от функции
Решение: Применим формулы дифференцирования произведения. Получим:
Задание 14.
Найти производную второго порядка
параметрически заданной функции.
Решение:
Воспользуемся
формулой производной параметрически
заданной функции:
У нас
Задание 15.
Составить
уравнение касательной и нормали к кривой
в точке
Решение:
Уравнения касательной и нормали к
графику функции, заданной в параметрическом
виде:
,
в точке соответствующей значению
параметра
,
имеют вид:
и
.
Здесь
В нашем случае
Далее,
Следовательно,
Поэтому уравнения касательной и нормали
в точке, соответствующей значению
параметра
имеет
вид:
и
,
соответственно.
Задание 16. Найти
производную n-го
порядка
.
Решение:
,
,
.
Задание 17.
Найти производную указанного порядка
.
Решение:
.
Задание 18. Найти производную второго порядка параметрически заданной функции.
Решение: производная первого порядка параметрически заданной функции вычисляется по формуле:
У нас:
производная второго порядка параметрически заданной функции вычисляется по формуле:
У нас
