1. Определение производной

Пусть функция определена в некоторой точке , и пусть существует конечный предел отношения , при , тогда этот предел называется производной функции в точке

(1)

Если функция имеет производную в точке , т.е. существует конечный предел

, (2)

то существует предельное положение секущей l, заданной уравнением

. (3)

Это означает, что в точке существует касательная к графику функции , причём, согласно формуле , где – угловой коэффициент прямой . так как , где – угол, образуемый касательной с положительны направление оси абсцисс, то

. (4)

Таким образом, геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке

Уравнение касательной к графику функции в точке , получаемое из уравнения (3) заменой на , имеет вид

. (5)

1. Записать уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой .

 Так как угловой коэффициент касательной по условию равен угловому коэффициенту прямой , т.е. равен 1, то из уравнения получаем , а по формуле (5) при , находим уравнение касательной .

1.2. Составить уравнение касательной к функции в точке .

 Уравнение касательной к графику функции в точке , где

имеет вид: .

Вычислим производную по формуле (1)

Далее: .

Поэтому уравнение касательной в точке имеет вид: .

Или после упрощения: .

Таблица производных

2. Дифференциал функции

Если функция определена в – окрестности точки , а приращение функции в точке x₀ представимо в виде

,

где не зависит от , а при , то функция называется дифференцируемой в точке , а произведение называется её дифференциалом в точке x₀ и обозначается или .

2.1. Найти дифференциал

 .

2.2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала.

 Для функции воспользуемся формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала: . Здесь:

- - значение рассматриваемой функции в исходной точке.

- - значение рассматриваемой функции в «хорошей» точке близкой к исходной точке.

- -дифференциал функции.

В нашем случае . В качестве «хорошей» точки возьмем точку . Тогда приращение аргумента есть .

Вычислим производную функции . Получим: .

Итак, для нашей функции имеем следующую приближенную формулу:

.

Тогда, подставляя в нее наши числовые значения получаем:

.

Ответ: .