- •Введение в анализ.
- •Способы задания функций.
- •Основные элементарные функции.
- •Пределы.
- •Бесконечно малые величины.
- •Связь понятий предела и бесконечно малой величины.
- •Свойства бесконечно малых.
- •Теоремы о пределах.
- •Предел суммы равен сумме пределов.
- •Предел произведения равен произведению пределов.
- •Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю.
- •Монотонно возрастающая переменная, ограниченная сверху, имеет предел. Первый замечательный предел.
- •Число е и второй замечательный предел.
- •Сравнение бесконечно малых.
- •Бесконечно большие величины.
- •Непрерывность функции в точке.
- •Второе определение непрерывности функции в точке.
- •Свойство непрерывных функций.
- •Е сли функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она достигает на этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значения.
Введение в анализ.
( Ньютон 1642 – 1727, Лейбниц 1646 – 1716).
Переменной величиной называется величина, которая в рассматриваемых условиях может принимать различные числовые значения – x, y, z, u, v, w ….
Постоянной величиной называется величина, которая в рассматриваемых условиях сохраняет свое значение – a, b, c, ….
Абсолютная постоянная - π = 3,141…, 2, 1….
Параметр – постоянная величина лишь в рассматриваемых условиях.
pv = c – закон Бойля-Мариотта, с – параметр.
Переменная y называется функцией переменной х. если по некоторому правилу или закону каждому значению x из некоторого множества X ставится в соответствие определенное значение y, принадлежащее множеству Y
Множество Х называется областью определения функции.
Пример.
Способы задания функций.
х
x1
x2
…
xn
y
y1
y2
….
yn
Г рафический y
y
x
x
Аналитический. Функция задается с помощью формулы y = f(x).
Основные элементарные функции.
К основным элементарным функциям относятся пять следующих типов функций:
Степенные – y = xα .
Показательные – y = ax,
Логарифмические y = log ax,
Тригонометрические y = sin x, y = cos x, …
Обратные тригонометрические y = arcsin x, y = arccos x, …
Пусть y = f(u), u = φ(x). Тогда y = f(φ(x)) – сложная функция от х или функция от функции. Например, y = u2, u = sin x → y = sin2x – сложная функция.
Элементарной функцией называется функция, заданная одним аналитическим выражением y = f(x), составленная из основных элементарных функций путем конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Например,
Пределы.
Число А называется пределом переменной величины у, если в процессе изменения у величина |у – А| становится и остается меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа ε.
Если |y – A| < ε , то у→ А или lim y = A.
П р и м е р .
A-ε 0 A+ε x
Докажем, что lim Sn = 1. Зададим произвольное ε > 0. При всех n, удовлетворяющих этому условию, будет выполняться условие |Sn – 1| < ε.
Бесконечно малые величины.
Бесконечно малой величиной называется переменная величина, имеющая нуль своим пределом.
α – бесконечно малая, если lim α = 0, каково бы ни было ε > 0 → |α – 0| < ε или |α| < ε
Связь понятий предела и бесконечно малой величины.
Пусть lim y = A. Тогда в процессе изменения у имеем |y – A| < ε, где ε сколь угодно малое число. Обозначим у – А = α. Тогда |α| < ε, т.е. α – бесконечно малая величина.
у = А + α
бесконечно малая
Справедливо утверждение: переменная, имеющая предел, представляется в виде суммы постоянной, равной пределу, и бесконечно малой величины.
Обратное утверждение: если переменная представляется в виде суммы постоянной и бесконечно малой величины, то эта постоянная есть предел переменной.
Е сли y = A + α , то lim y = А.
постоянная б.малая