• Математичні моделі в процедурах аналізу на макрорівні;

Вихідними даними для формування математичних моделей об'єктів на макрорівні є компонентні й топологічні рівняння.

Компонентними рівняннями називають рівняння, що описують властивості елементів (компонентів), інакше кажучи, це рівняння математичних моделей елементів.

Топологічні рівняння описують взаємозв'язок в складі модельованої системи. У сукупності компонентні й топологічні рівняння конкретної фізичної системи представляють собою вихідну математичну модель системи.

Компонентні і топологічні рівняння в системах різної фізичної природи відбивають різні фізичні властивості, але можуть мати однаковий формальний вид. Однакова форма запису математичних співвідношень дозволяє говорити про формальні аналогії компонентних і топологічних рівнянь. Такі аналогії існують для механічних поступальних, механічних обертальних, електричних, гідравлічних (пневматичних), теплових об'єктів. Наявність аналогій приводить до практично важливого висновку: значна частина алгоритмів формування та дослідження моделей у САПР є інваріантної й може бути застосована до аналізу в різних предметних областях. Єдність математичного апарату формування математичних моделей систем є особливо зручним при аналізі систем, які складаються з фізично різнорідних підсистем.

У перераховані вище додатках компонентні рівняння мають вигляд

,

і топологічні рівняння

— вектор фазових змінних, t — час.

Розрізняють фазові змінні двох типів - фазові змінні типу потенціалу (наприклад, електрична напруга) і типу потоку (наприклад, електричний струм). Кожне компонентне рівняння характеризує зв'язок між різнотипними фазовими змінними, стосовно одного компонента (наприклад, закон Ома описує зв'язок між напругою й струмом у резисторі), а топологічне рівняння - зв'язок між однотипними фазовими змінними в різних компонентах.

Моделі можна представляти у вигляді систем рівнянь або в графічній формі, якщо між цими формами встановлена взаємно однозначна відповідність. Як графічна форма часто використають еквівалентні схеми.

Розглянемо кілька типів систем.

Електричні системи. В електричних системах фазовими змінними є електричні напруги і струми. Компонентами систем можуть бути прості двополюсні елементи й складніis дво- і багатополюсні компоненти. До простих двополюсників відносяться наступні елементи: опір, ємність й індуктивність, які характеризуються однойменними параметрами R, C, L. В еквівалентних схемах ці елементи позначають відповідно до мал. 3.2,).

Компонентні рівняння простих двополюсників: .

.

де u - напруга (точніше, спад напруги на двополюснику), i - струм.

Ці моделі лежать в основі моделей інших можливих складніших компонентів. Більша складність може визначатися нелінійністю рівнянь (тобто залежністю R, C, L від фазових змінних), або залежністю параметрів R, C, L від температури, або наявністю більше двох полюсів. Однак багатополюсні компоненти можуть бути зведені до сукупності взаємозалежних простих елементів.

Топологічні рівняння виражають закони Кергофа для напруг (ЗНК) і струмів (ЗСК). Згідно ЗНК, сума напруг на компонентах уздовж будь-якого замкнутого контуру в еквівалентній схемі дорівнює нулю, а відповідно до ЗСК сума струмів у будь-якому замкнутому перетині еквівалентної схеми дорівнює нулю:

де Kp - множина номерів елементів p-го контуру, Jq - множина номерів елементів, що входять в q-й перетин.

Прикладом ММ складного компонента може служити модель транзистора. На мал. 3.3 представлена еквівалентна схема біполярного транзистора, на якій залежні від напруг джерела струму і відображають статичні вольт-амперні характеристики p-n переходів, i_тэ й i_тк - теплові струми переходів, - температурний потенціал, і - напруги на емітерному і колекторному переходах, Cэ й Cк - ємності переходів, Rуэ й Rук - опори витоку переходів, Rб й Rк - об'ємні опори тіл бази і колектора, - джерело струму, яке моделює підсилювальні властивості транзистора, - прямий і інверсний коефіцієнти підсилення струму бази. Тут - фазові змінні, а інші величини - параметри моделі транзистора.

Механічні системи. Фазовими змінними в механічних поступальних системах є сили і швидкості. Використають одну із двох можливих електромеханічних аналогій. Надалі будемо використати ту з них, у якій швидкість відносять до фазових змінним типу потенціалу, а силу вважають фазової змінної типу потоку. З огляду на формальний характер подібних аналогій, рівною мірою можна застосовувати й протилежну термінологію.

Компонентне рівняння, яке характеризує інерційні властивості тіл, згідно другого закону Ньютона має вигляд .

.

.

Пружні властивості тіл описуються компонентним рівнянням, яке можна одержати з рівняння закону Гука. В одномірному випадку (якщо розглядаються поздовжні деформації пружного стрижня) .

.

де G — механічна напруга; E — модуль пружності; ε = Δl/l — відносна деформація; Δl — зміна довжини l пружного тіла під впливом G.

Топологічні рівняння характеризують,

• закон рівноваги сил: сума сил, прикладених до тіла, включаючи силу інерції, дорівнює нулю (принцип Даламбера),

• закон швидкостей, відповідно до якого сума відносної, переносної й абсолютної швидкостей дорівнює нулю.

У механічних обертальних системах справедливі компонентні й топологічні рівняння поступальних систем із заміною поступальних швидкостей на кутові, сил - на обертальні моменти, мас - на моменти інерції, твердостей - на обертальні твердості.

Умовні позначки простих елементів механічної системи показані на рис. 3.2.

Неважко помітити наявність аналогій між електричною й механічною системами. Так, струмам і напругам у першій з них відповідають сили (або моменти) і швидкості механічної системи, компонентним рівнянням і параметрам, що фігурує в них, C й L - рівняння і параметри M й Lм, очевидні аналогія й між топологічними рівняннями. Параметри C й L називають ємнісного типу, параметри L й Lм — індуктивного типу, а параметри R й Rтр = ∂u/∂F — резистивного типу.

Однак є істотна відмінність у моделюванні електричних і механічних систем: перші з них одномірні, а процеси в других часто доводиться розглядати у двох- (2D) або тривимірному (3D) просторі. Отже, при моделюванні механічних систем у загальному випадку в просторі 3D потрібно використати векторне подання фазових змінних, кожна з яких має шість складових, відповідним шести ступеням свободи.

Однак відзначені аналогії залишаються справедливими, якщо їх відносити до проекцій сил і швидкостей на кожну просторову вісь, а при графічному поданні моделей використати шість еквівалентних схем - три для поступальних складових і три для обертальних.

Гідравлічні системи. Фазовими змінними в гідравлічних системах є витрати й тиски. Як і у попередньому випадку, компонентні рівняння описують властивості рідини розсіювати або накопичувати енергію.

Розглянемо компонентні рівняння для рідини на лінійній ділянці трубопроводу довжиною Δl і скористаємося рівнянням Навьє-Стокса в наступній його формі (для ламінарного плину рідини) .

.

де — густина рідини; U – швидкість; P – тиск; a — коефіцієнт в’язкого тертя. Тому що U = Q/S, де Q — об'ємна витрата; S — площа поперечного переріза трубопроводу, то, заміняючи просторову похідну відношенням кінцевих різниць, маємо:

де — спад тиску на розглянутій ділянці трубопроводу. — гідравлічна індуктивність, яка відбиває інерційні властивості рідини, - гідравлічний опір, який відбиває в’язке тертя.

Інтерпретація рівняння приводить до еквівалентної схеми мал. 3.4.

Явище стискання рідини описується компонентним рівнянням, що випливає з закону Гука .

.

Диференціюючи це рівняння і з огляду на, що об'ємні витрати Q зв'язана зі швидкістю співвідношенням Q = U S, одержуємо .

.

Зв'язок підсистем різної фізичної природи. Використають наступні способи моделювання взаємозв'язків підсистем: за допомогою трансформаторного, гіраторного зв'язку і за допомогою залежності параметрів компонентів однієї підсистеми від фазових змінних іншої. В еквівалентних схемах трансформаторні й гіраторні зв'язки представлені залежними джерелами фазових змінних, показаними на рис. 3.5. На цьому малюнку k й n — коефіцієнти трансформації; g — передаточна провідність; Uj й Ij – фазові змінні в j-й ланцюга; j=1 відповідає первинної, а j=2 — вторинного ланцюга .

.