![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Контрольная работа №2 Тема. Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений Задание
Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса–Зейделя с заданной точностью
. Проанализировать результаты решения (в зависимости от других значений
).
Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.
Решение:
1)
Задана система линейных алгебраических уравнений:
Запишем эту систему в матричном виде :
,
.
Для решения этой системы воспользуемся пакетом MS Excel. Откроем новый лист с названием «Задание 2».
Перво-наперво, решим систему с
использованием надстройки «Поиск
решения». Для этого используем ячейки
A3:H5,
где будут заданы коэффициента матрицы
(A3:C5),
вектора
(D3:D5),
вектора
(H3:H5),
а также значения произведения
(E3:E5)
и невязки
(F3:F5).
После чего запускаем надстройку «Поиск
решения» и находим в ячейки H3:H5
значения неизвестных:
,
,
.
2)
Найдем решение заданной системы методом Якоби.
Нужно отметить следующее, наша система не содержит преобладания диагональных элементов, поэтому ее решение итерационными методами может со спокойной совестью разойтись.
Приведем систему к нормальному виду:
В матричном виде
:
,
.
На листе «Задание 2» введем исходные
данные: матрицу
в ячейки B10:D12,
вектор
в ячейки E10:E12.
Точность расчетов
в ячейку G10. Номера
итераций
будем записывать в стоку 13. В качестве
нулевого приближения берем вектор
и записываем его в ячейки B14:B16.
В ячейки C14:C16
записываем первую итерацию метода
Якоби, т.е. записываем в ячейку C14
формулу:
=МУМНОЖ($B$10:$D$12;B14:B16)+$E$10:$E$12.
После чего выделяем ячейки C14:C16, нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.
Для определения достижения нужной
точности
в строчках 17, 18 и 19 будем находить модули
разницы решения на
-ой
и
-ой
итерации для
,
и
соответственно, т.е. будем высчитывать:
.
В строке 20 запишем максимальное значение
из указанных модулей
.
Т.о. в ячейку нашего листа записываем
следующие формулы:
C17: =B14–C14
C18: =B15–C15
C19: =B16–C16
C20: =МАКС(C17:C19)
Далее выделяем ячейки C14:C20
и автозаполняем ими столбцы с C по
Q. Т.о. мы получили 15
итераций, причем с каждой итерацией
критерий
увеличивается и никогда не становится
меньше, чем указанная точность
.
На 15-ой итерации решение имеет вид
,
,
.
Эти приближенные решения хранятся в
ячейках Q14:Q16.
Т.о. мы получили расходящийся итерационный
процесс в связи с непреобладанием
диагональных элементов матрицы исходной
системы.
Рис. 1.
Построим графики сходимости каждой
неизвестной
,
т.е. их изменение в зависимости от номера
итерации. Для этого используем «Мастер
диаграмм» и ячейки B13:Q16.
Полученные графики разместим на листе
«Диаграмма. Задание 2». Перенесем эти
графики в Word рис. 1. Как видно из рис.1.
решение расходится.
3)
Найдем решение заданной системы методом Якоби.
Для достижения сходимости данного итерационного метода нужно преобразовать исходную систему к виду с преобладанием диагональных элементов. Для этого при приведении системы к нормальному виду мы сменим местами некоторые уравнения.
Приведем систему к нормальному виду:
В матричном виде :
,
.
На листе «Задание 2. Якоби» введем
исходные данные: матрицу
в ячейки
,
вектор
в ячейки
.
Точность расчетов
в ячейку
.
Номера итераций
будем записывать в стоку 7. В качестве
нулевого приближения берем вектор
и записываем его в ячейки
.
В ячейки
записываем первую итерацию метода
Якоби, т.е. записываем в ячейку
формулу:
=МУМНОЖ($B$4:$D$6;B8:B10)+$E$4:$E$6.
После чего выделяем ячейки , нажимаем F2, а затем Ctrl+Shift+Enter. В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.
Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:
C11: =B8–C8
C12: =B9–C9
C13: =B10–C10
C14: =МАКС(C11:C13)
Далее выделяем ячейки C8:C14
и автозаполняем ими столбцы с C по
Q. Т.о. мы получили 15
итераций, причем на 15-й итерации критерий
,
т.е. наше решение сошлось к точному и
имеет вид:
,
,
.
Эти приближенные решения хранятся в
ячейках Q8:Q10.
Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B7:Q10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Якоби». Перенесем эти графики в Word рис. 2. Как видно из рис.2. решение сходится.
Рис. 2.
Предположив теперь, что точность расчетов
составляет
мы можем убедится, что для достижения
такой точности достаточно 9 итераций.
Откуда можно сделать вывод, что решение
системы сходится не монотонно и не очень
быстро.
4)
Решим заданную систему методом Гаусса–Зейделя. Используем для этого приложение MS Excel. Откроем новую страницу с названием «Задание 2. Зейдель». Аналогично с методом Якоби задаем исходные данные матрицу в ячейки B4:D6, вектор в ячейки E4:E6. Точность расчетов в ячейку G4. Номера итераций будем записывать в стоку 7. В качестве нулевого приближения берем вектор и записываем его в ячейки B8:B10. В ячейки C8:C10 записываем первую итерацию метода Гаусса–Зейделя, т.е. записываем формулы:
C8: =$E$4+$B$4*B8+$C$4*B9+$D$4*B10
C9: =$E$5+$B$5*C8+$C$5*B9+$D$5*B10
C10: =$E$6+$B$6*C8+$C$6*C9+$D$6*B10
В итоге в этих ячейках появится первое приближение решения системы.
Для определения достижения нужной точности в строчках 11, 12 и 13 будем находить модули разницы решения на -ой и -ой итерации для , и соответственно, т.е. будем высчитывать: . В строке 14 запишем максимальное значение из указанных модулей . Т.о. в ячейку нашего листа записываем следующие формулы:
C11: =B8–C8
C12: =B9–C9
C13: =B10–C10
C14: =МАКС(C11:C13)
Далее выделяем ячейки C8:C14
и автозаполняем ими столбцы с C по
L. Т.о. мы получили 10
итераций, причем уже на 5-й итерации
критерий
,
т.е. наше решение сошлось к точному и
имеет вид:
,
,
.
Эти приближенные решения хранятся в
ячейках G8:G10.
Построим графики сходимости каждой неизвестной , т.е. их изменение в зависимости от номера итерации. Для этого используем «Мастер диаграмм» и ячейки B7:L10. Полученные графики разместим на листе «Диаграмма. Метод Зейделя». Перенесем эти графики в Word рис. 3. Как видно из рис. 3. решение сходится.
Предположив теперь, что точность расчетов составляет мы можем убедится, что для достижения такой точности достаточно 3 итераций. Откуда можно сделать вывод, что решение системы сходится монотонно и быстро.
Рис. 3.