Высшая математика кр 1 вар 10

№20

A (-3; -3) B (5; -7) C (7; 7)

1. Уравнение стороны AB найдём по формуле:

AB: = , = , = ,

=

, , K_AB = -

Уравнение AB

2. Так как высота CH AB, то K_CH * K_AB = , K_CH =

Воспользуемся формулой , ,

уравнение высоты CH

Найдём длину высоты CH:

ед. длина

3. Медиана АМ делит ВС пополам, т.е. m – середина стороны ВС

Найдём её координаты:

M (6; 0)

AM: ,

,

− уравнение АМ

4. Чтобы найти координаты N – точки пересечения между АМ и высоты СН, необходимо решить систему, составленную из уравнений этих линий:

N (3; -1)

5. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ и проходит через вершину С, то К_АВ = К_СD =

CD:

– уравнение CDAB

6. , где К_АС найдём из уравнения стороны АС

АС:

, ,

K_AC = 1

Сделаем рисунок:

№40

A₁(2; 3; 5) A₂(5; 3; -7) A₃(1; 2; 7) A₄(4; 2; 0)

1. Уравнение плоскости А₁ А₂ А₃ найдём по формуде:

= 0

= 0

= 0

− A₁ A₂ A₃

2. Запишем уравнение прямой, проходящей через точку А₄:

Так как искомая прямая перпендикулярна А₁ А₂ А₃, то

в нашем случае имеем

Полученные значения подставим в условие:

,

3. Расстояние от А₄ ДО А₁ А₂ А₃ найдём по формуле:

4. Найдём угол между прямой А₁ А₄ и плоскостью А₁ А₂ А₃:

A₁A₄:

, где m = 2

n = -1

p = -5

5. Найдём косинус угла между 0_xy и А₁ А₂ А₃:

Плоскость 0_xy – z = 0, т.е.

Сделаем чертёж:

№30

1. b = ,

Тогда уравнение эллипса примет вид:

2. Уравнение гиперболы имеет вид:

По условию

Отсюда

Сделаем чертёж:

3. Ось симметрии О_y A(-45; 15)

Исходя из условия задачи искомая парабола имеет вид и так как точка А (-45; 15) лежит на параболе, то координата точки должна удовлетворять уравнению параболы

Отсюда

№10

1. Найдём скалярное произведение векторов , так как

,

то

2. Найдём модуль векторного произведения

3. Проверить кол линеарность и ортогональность векторов :

так как

Поскольку

4. Вычислим определитель:

5. Найти координаты вектора в этом базисе

Пусть

Из условия задачи

Из равенства векторов имеем:

Искомое разложение имеет вид