
- •1.Многочлены.
- •2. Рациональные дроби.
- •3. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
- •4. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •5. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
- •6. Интегрирование рациональных функций.
- •7. Интегрирование тригонометрических функций.
- •8. Интегрирование иррациональных функций.
- •11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
- •12. Замена переменных в определенном интеграле.
- •13. Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.
- •14. Вычисление площадей плоских фигур.
- •15. Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.
- •17. Ни-1
- •18. Несобственные интегралы второго рода.
- •19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
- •20. Частные производные .
- •21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
- •22. Частные производные сложной функции. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы полного дифференциала.
- •23. Неявные функции и их дифференцирование.
- •24. Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •25. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •26. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •27. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума.
- •28. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод множителей Лагранжа. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции в замкнутой области.
- •29. Интегралы по фигуре от скалярной функции, их свойства, геометрические и физические приложения.
- •30. Криволинейный интеграл первого рода.
- •36. Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная форма и вычисление.
- •Скалярная форма кри-2
- •37. Формула Грина.
- •38. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.
- •39. Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная форма и вычисление..
- •40. Скалярные поля. Производная скалярного поля по направлению. Градиент.
- •41. Векторные поля. Поток векторного поля. Дивергенция.
- •42. Циркуляция и ротор векторного поля.
- •43. Операторы Гамильтона и Лапласа.
- •44 Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •45.Соленоидальное векторное поле. Гармоническое векторное поле.
17. Ни-1
Пусть f(x) определена на
и инт на
;
,
т.е.
Пусть
.
Если этотlimсуществует
и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится.
Если не существует или бесконечен, то
расходится.
;
Аддитивность : Если
сходится, то
,
;
Линейность: Если
сходится и
сходится, то
сходится и
Вычисление и преобразование НИ-1.
Если f(x)
непрерывна наиF– какая-то первообразная
для ф-цииf(x),
то
Интегрирование по частям.: ЕслиU,V– непрер.
Диф-мы ф-ции на,
то
Исследование на сходимость.
Т1: Пусть ф-ции f(x)
иg(x),
тогда если
и
,
то
сходится
сходится
расходится
пасходится
Предельный признак сравнения для НИ-1.
Т2: Пусть,
;
,
тогда если
конечный
,
то
и
сходятся или расходятся одновременно.
При k=1при
Т3: Если
и
сходится, то
сходится.
Определение:
называется абсолютно сходящимся, если
сходится
.
Если
расходится, а
сходится, от
-
неабсолютно (условно) сходящийся
Главное значении.
,
,
Если
и сходится, то
и
18. Несобственные интегралы второго рода.
f(x) определена
на [a,b);;
,
т.е.
называется НИ-2 и обозначается
Если этот Limсуществует
и конечен, то говорят, чтосходится.
Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2
расходится.
Свойства НИ-2.
{Аналогично НИ-1.}
Аддитивность
Если
сходится, то
,
;
Линейность
Если
сходится и
сходится, то
сходится и
Вычисление и преобразование НИ-2.
Формула Ньютона-Лейбница.
f(x) – непрерывна на [a.b);F(X) - некоторая первообразная.
Интегрирование по частям.
Если U(x) иV(x) непр. И
диф-мы на [a,b),
то
Исследование на сходимость.
{Аналогично НИ-1.}
Главное значении НИ-2.
f(x) определено
на
Определение:
19. Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке, повторные пределы. Непрерывность.
Опр. т. А наз.
пределом посл-ти (Mn)
если
для любого Е(эпсилон) сущ.N-N(E);
любое n>=N(E)
=> p(Mn,A)
< E;
;
(число)
(x1, x2, …,xm)-независимые переменные.
Опр по Коши: число
b
наз пределом ф-ии u=f(M)
в т. А (при
),
если для любого Е > 0 сущ.
,
для любого
Опр по Гейне: число
b
наз пределом посл-ти ф-ии u=f(M)
в т. А, если для любого (Mn),
A(a1,
a2,…,
am)
Теор.
Если
сущ.
и
сущ.
,
то сущ.
,
причем
Опр. u=f(M)
наз. непрерывной в т. А, если
M(x1,
x2,
…,xn)
;
…
;
A(a1,
a2,
…,an)
Опр2. u=f(M)
наз. непрерывной в т. А, если
Точка в к-й ф-я не определена или не является непрерывной, наз. точками разрыва этой ф-ии.
20. Частные производные .
Частная производная
ф-ции
в
точке
по
переменнойx
называется
,
если он
.
;
;
непрерывна
имеет частные
производные в т. А,В
непрерывна
в т. А,В.
21 . Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия дифференцируемости. Полный дифференциал.
;
;
;
Ф-ция
называется
диф-м в точке
если ее полное приращение
может быть представлено в виде
,
где
,
А,В – числа.
Теорема: Если
диф в точке
,
то
непрерывна в этой точке.
Док-во:
-диф-ма
в т.
;
-
непрерывна в точке
Теорема (необходимое
условие диф): Если
диф в точке
,
то
Док-во:
;
;
Теорема (достаточное
условие диф): Если
имеет
частные производные в некоторой
окрестности т.
,
непрерывна в самой точке
,
то она диф. В точке
.
Если
дифф. В т.
,
то главная линейная, относительно
приращения аргумента, часть его полного
приращения называется полным диффиринциалом
ф-ции
в
т.
;
;
;