Часть 1. Контрольная. вариант 28
.docБЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра программного обеспечения информационных технологий
Факультет ФНиДО
Специальность ПОИТ
Контрольная работа № 1
по дисциплине «Высшая математика»
часть 1
Вариант № 28
Выполнил студент: Жукович Игорь Сергеевич
группа 291003
Студенческий билет № 2910028
Контрольная работа № 1. Основы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задача 1 (8)
Даны четыре вектора , , и , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение ; 2) вычислить векторное произведение ; 3) показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение
1) Найдем вектор для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора вычтем вектор . В результате вычитания получим
Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то
.
2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор . Тогда векторное произведение найдем по формуле
:
3) Базисом в пространстве являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:
.
Значит, векторы некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде , где координаты вектора в базисе , и найдем .
Определитель найден выше: .
; ; .
Имеем: ; ; .
Значит, .
Задача 2 (18)
Даны координаты вершин пирамиды . Найти: 1) длину ребра ; 2) уравнение прямой ; 3) угол между рёбрами и ; 4) уравнение плоскости ; 5) угол между ребром и гранью ; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертёж.
; ; ;
Решение
1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками и , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле
,
где координаты точки , координаты точки .
Таким образом, вычисляем:
.
2) Для составления уравнений прямой воспользуемся формулой: , где координаты точки , координаты точки . Тогда .
В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде
или
т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.
3) Угол между ребрами и вычисляется по формуле из скалярного произведения векторов и .
Находим: ; ;
; ;
.
Поэтому , .
4) Для составления уравнения плоскости воспользуемся формулой , где координаты точки , координаты точки , координаты точки .
.
5) Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором и его ортогональной проекцией на грань .
Поскольку вектор принадлежит плоскости , то угол между ребром и плоскостью равен 0°
6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой , где точка, лежащая на искомой прямой; координаты вектора , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки возьмем точку , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. . Имеем .
7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения:
8) Объем пирамиды численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле .
Таким образом, .
9) Сделаем чертёж:
Задача 3 (28)
Найти координаты точки , симметричной точке относительно плоскости .
Решение
Составим уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно заданной плоскости:
.
Найдём точку пересечения прямой и плоскости:
Откуда - точка пересечения прямой и плоскости.
Точка является серединой отрезка поэтому
Таким образом,
Задача 4 (38)
Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки и от оси ординат.
Решение
Обозначим произвольную точку искомой линии как . Тогда по условию получаем, что , где Р – основание перпендикуляра из точки М к прямой .
Находим: ; .
Значит, . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем . Это парабола с вершиной в точке М(4;1)
Полученная парабола изображена на следующем рисунке: