Прикладная математика
.docxВариант 7
Задание 1.
Даны
натуральные числа
и
.
Найти их каноническое разложение.
Вычислить их наибольший общий делитель
и наименьшее общее кратное. Вычислить
НОД
с помощью алгоритма Евклида. Выписать
соотношение Безу для чисел
и
с помощью расширенного алгоритма
Евклида.
Решение
Найдем каноническое разложение:
Наибольший общий делитель:
Наименьшее общее кратное
Вычислим НОД с помощью алгоритма Евклида:
Следовательно,
НОД
Вычислим соотношение Безу:
Задание
2. Вычислить
и
для
и
из задания 1,
,
где
- номер вашего варианта в данной
контрольной работе.
Решение
Задание
3. Построить таблицы сложения и умножения
в кольце классов вычетов
,
где
номер
вашего варианта в данной контрольной
работе. К каждому классу из
указать обратный класс или обосновать
его отсутствие. Сравнить количество
всех обратимых классов с
.
Циклична ли группа
?
Решение
Построим таблицу сложения:
|
+ |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
0 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
|
2 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
|
4 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
5 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
6 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
7 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
8 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
9 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
10 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
11 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
12 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
|
13 |
13 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
14 |
14 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
15 |
15 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
16 |
16 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
Построим таблицу умножения:
|
* |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
3 |
0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
1 |
4 |
7 |
10 |
13 |
16 |
2 |
5 |
8 |
11 |
14 |
|
4 |
0 |
4 |
8 |
12 |
16 |
3 |
7 |
11 |
15 |
2 |
6 |
10 |
14 |
1 |
5 |
9 |
13 |
|
5 |
0 |
5 |
10 |
15 |
3 |
8 |
13 |
1 |
6 |
11 |
16 |
4 |
9 |
14 |
2 |
7 |
12 |
|
6 |
0 |
6 |
12 |
1 |
7 |
13 |
2 |
8 |
14 |
3 |
9 |
15 |
4 |
10 |
16 |
5 |
11 |
|
7 |
0 |
7 |
14 |
4 |
11 |
1 |
8 |
15 |
5 |
12 |
2 |
9 |
16 |
6 |
13 |
3 |
10 |
|
8 |
0 |
8 |
16 |
7 |
15 |
6 |
14 |
5 |
13 |
4 |
12 |
3 |
11 |
2 |
10 |
1 |
9 |
|
9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
10 |
0 |
10 |
3 |
13 |
6 |
16 |
9 |
2 |
12 |
5 |
15 |
8 |
1 |
11 |
4 |
14 |
7 |
|
11 |
0 |
11 |
5 |
16 |
10 |
4 |
15 |
9 |
3 |
14 |
8 |
2 |
13 |
7 |
1 |
12 |
6 |
|
12 |
0 |
12 |
7 |
2 |
14 |
9 |
4 |
16 |
11 |
6 |
1 |
13 |
8 |
3 |
15 |
10 |
5 |
|
13 |
0 |
13 |
9 |
5 |
1 |
14 |
10 |
6 |
2 |
15 |
11 |
7 |
3 |
16 |
12 |
8 |
4 |
|
14 |
0 |
14 |
11 |
8 |
5 |
2 |
16 |
13 |
10 |
7 |
4 |
1 |
15 |
12 |
9 |
6 |
3 |
|
15 |
0 |
15 |
13 |
11 |
9 |
7 |
5 |
3 |
1 |
16 |
14 |
12 |
10 |
8 |
6 |
4 |
2 |
|
16 |
0 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Выпишем обратимые элементы:
Их
16, а
.
Группа
состоит из
,
которые принадлежат циклической группе
=
.
Т.е.
является циклической группой.
Задание 4. Установить истинное сообщение, зашифрованное классическим методом.
А) расшифровать криптограмму Цезаря
ФСОСЕЯЛ ЖГЕРС КГТЗОЛ, ФЦПУГН ЕСКЕЗФХВ
Решение
Используем для расшифровки таблицу:
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ё |
Ж |
З |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
О |
П |
Р |
С |
Т |
|
Г |
Д |
Е |
Ё |
Ж |
З |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
О |
П |
Р |
С |
Т |
У |
Ф |
Х |
|
У |
Ф |
Х |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
|
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
А |
Б |
В |
ФСОСЕЯЛ ->соловьи
ЖГЕРС ->давно
КГТЗОЛ ->запели
ФЦПУГН ->сумрак
ЕСКЕЗФХВ ->возвестя
Получим:
Соловьи давно запели, сумрак возвестя
Б) перевести с тарабарского
ПЕСЬФЯ ОЩЪЯКЪ ПЕОЩЪЯКПОЕ (Т. НМУКТОШ)
Решение
Воспользуемся таблицей тарабарской грамоты:
|
Б |
В |
Г |
Д |
Ж |
З |
К |
Л |
М |
Н |
|
Щ |
Ш |
Ч |
Ц |
Х |
Ф |
Т |
С |
Р |
П |
Заменим:
ПЕСЬФЯ ОЩЪЯКЪ ПЕОЩЪЯКПОЕ (Т. НМУКТОШ)
НЕЛЬЗЯ ОБЪЯТЪ НЕОБЪЯТНОЕ (К. ПРУТКОВ)
Ответ. Нельзя объять необъятное.
В) расшифровать текст, зашифрованный с помощью девиза «роза»
|
б |
ю |
ь |
у |
в |
г |
к |
ш |
ц |
а |
и |
е |
а |
ц |
м |
э |
|
у |
б |
ы |
ё |
ь |
ы |
и |
п |
ь |
ю |
ц |
т |
д |
г |
а |
бэ |
Решение
Воспользуемся таблицей:
|
А |
Б |
В |
Г |
Д |
Е |
Ё |
Ж |
З |
И |
Й |
К |
Л |
М |
Н |
О |
П |
Р |
С |
Т |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
У |
Ф |
Х |
Ц |
Ч |
Ш |
Щ |
Ъ |
Ы |
Ь |
Э |
Ю |
Я |
|
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
Сопоставим буквы цифрам и девизу:
|
2 |
32 |
30 |
21 |
3 |
4 |
12 |
26 |
24 |
1 |
10 |
6 |
1 |
24 |
14 |
31 |
|
б |
ю |
ь |
у |
в |
г |
к |
ш |
ц |
а |
и |
е |
а |
ц |
м |
э |
|
Р |
О |
З |
А |
Р |
О |
З |
А |
Р |
О |
З |
А |
Р |
О |
З |
А |
|
18 |
16 |
9 |
1 |
18 |
16 |
9 |
1 |
18 |
16 |
9 |
1 |
18 |
16 |
9 |
1 |