1 курс кр.2 вар

Учреждение образования

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет заочного и дистанционного обучения

Специальность ПОИТ

Контрольная работа

по Высшей математике №2

Вариант № 9

группа

Зачётная книжка

Электронный адрес

Минск 2011

№49

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее тремя методами: 1) по формулам Крамера; 2) методом Гаусса; 3) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).

Дано:

:

Решение

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является

Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы. Если же эти ранги не равны, то система несовместна.

Исследование на совместность по критерию Кронекера-Капелли:

Для этого составим расширенную матрицу системы для определения её ранга и ранга матрицы коэффициентов:

.

Находим ранг r расширенной матрицы:

.

Отсюда , следовательно данная линейная система совместна.

1) Решить систему уравнений по формулам Крамера:

Решение

Составим матрицу коэффициентов (основную матрицу системы) и найдем её определитель:

.

Так как определитель отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Вычисляем определители

; ; ,

которые составляем из матрицы коэффициентов путем поочередной замены каждого из столбцов на столбец правой части системы.

Далее по формулам Крамера вычисляем:

Таким образом, система имеет единственное решение , , .

2) При решении системы линейных уравнений методом Гаусса действия производятся над расширенной матрицей.

 

Решение

Составим расширенную матрицу системы: .

Теперь приведём её путём элементарных преобразований к треугольному или трапециевидному виду. Для этого прибавим ко 2‑й строке 1‑ю, умноженную на , к 3‑й строке прибавим 1‑ю, умноженную на Получим: .

К 3‑й строке прибавим 2‑ю, умноженную на -4/7 получим

Таким образом, ранги основной и расширенной матриц равны 3. Система совместна и имеет единственное решение. Она сводится к эквивалентной системе линейных уравнений

Отсюда, подставляя во второе уравнение, получим , а из первого уравнения . Итак, , ,.

3) применение матричного метода рассмотрим на примере системы

Решение

Определитель основной матрицы системы , значит, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица. Находим решение по формуле или

,

где , алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Таким образом, обратная матрица к основной матрице системы имеет вид

.

Значит, матричное решение системы имеет вид

Отсюда следует, что , , .

№59

Найти общее решение системы линейных уравнений.

Дано:

Решение

Для исследования совместности составим расширенную матрицу системы:

.

~ ~ ;

Следовательно, х₂=0.

Тогда система примет вид

Отсюда:

_{Общее решение системы:}

_Ответ:

№69

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение

Составляем характеристическое уравнение матрицы А и находим его корни:

_{Это и есть собственные значения линейного преобразования.}

Так как все корни оказались действительными числами, то они являются собственными значениями матрицы А.

При система имеет вид:

Значит, собственному значению соответствует собственный вектор

_,

здесь – произвольное число ≠0.

Положив =1 получим

.

При

_.

При

_{, при x1=1}

_.

№79

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.

.

Решение:

Разделим уравнение на 4, получим:

Составим матрицу квадратичной формы

и найдём её собственной значение

При уравнение ;

.

Собственный вектор _.

_При

_.

_{Нормируя собственные векторы, получим}

_{, .}

_{Матрица перехода к новому базису}

.

Введём замену переменных:

_;

_{Подставим эти выражения в исходное уравнение кривой:}

Уравнение гиперболы симметричной относительно точки