BM Контрольная работа №2. Вариант №8

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет НиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 2

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 8

Выполнил студент: ******

группа ******

Зачетная книжка № ******-28

Электронный адрес ******@****.***

Минск 2010

Задача 58

Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение:

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

1) методом Гаусса

Необходимым и достаточным условием совместности системы линейных уравнений является Критерий Кронекера–Капелли. Для того чтобы линейная система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

– основная матрица

Рангом системы строк (столбцов) матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк(столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно-независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие.

– расширенная матрица

Для нахождения ранга расширенной матрицы с помощью элементарных преобразований, необходимо привести ее к треугольному или трапециевидному виду.

Отсюда видно, что ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы системы и равен количеству неизвестных :

система совместна и имеет единственное решение

Система сводится к эквивалентной системе линейных уравнений

Ответ: , , .

2) средствами матричного исчисления

Следовательно, система совместна и для матрицы коэффициентов существует обратная матрица.

Решение системы линейных уравнений матричным методом находится по формуле: , где – матрица-столбец неизвестных, – обратная матрица, основной матрицы системы, – матрица-столбец правой части системы уравнений.

Необходимо найти обратную матрицу по формуле:

, где – алгебраическое дополнение, M_ij – минор, получается путем удаления i–ой строки и j–ого столбца, det A – детерминант матрицы A ().

Необходимо проверить правильность вычисления обратной матрицы, исходя из формулы: , где – единичная матрица, матрица у которой элементы на главной диагонали равны единице, а остальные – нулю.

Ответ: , , .

Задача 68

Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Решение:

Необходимо найти ранг основной матрицы системы с помощью элементарных преобразований:

Так как ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевые решения. Размерность пространства решений этой системы: , где – количество неизвестных системы.

– преобразованная система

Эти формулы дают общее решение. В векторном виде его можно записать следующим образом:

,

где и – произвольные числа.

Вектор-столбцы:

и образуют базис пространства решений данной системы.

При и общее решение в векторном виде

Задача 78

Даны два линейных преобразования. Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение:

Первое линейное преобразование:

, где

Второе линейное преобразование:

, где

Ответ:

Задача 88

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

Решение:

Необходимо составить характеристическое уравнение матрицы:

Корни этого уравнения – собственные значения матрицы:

,

Необходимо найти собственные векторы:

При система имеет вид:

, где – любое число. При

При система имеет вид:

, где – любое число не равное нулю. При

Задача 98

Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм.

Решение:

Левая часть уравнения представляет собой квадратичную форму с матрицей

Необходимо составить и решить характеристическое уравнение матрицы:

,

Необходимо найти собственные векторы из системы уравнений

При система имеет вид:

Полагая, что , получаем

Собственный вектор –

При система имеет вид:

Полагая, что , получаем

Собственный вектор –

Координаты единичного вектора нового базиса:

;

Необходимо составить матрицу перехода от старого базиса к новому, в которой координаты нормированных собственных векторов записаны по столбцам:

Необходимо подставить полученные выражения в исходное уравнение:

– уравнение эллипса.