
Высшая Математика КР3 5 Вариант АСОИ
.docУЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Факультет заочного и дистанционного обучения
Специальность: Автоматизированные системы обработки информации
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ № 3
Вариант № 5
Маленького Евгения Николаевича
Группа: 000622
Зачетная книжка: 000622-25
Электронный адрес: 12_09_79@mail.ru
Задача 85
Выделив в заданной функции полный квадрат, получить уравнение параболы и построить ее график.
.
Выделим полный квадрат в заданной функции :
;
;
;
Далее
применим метод преобразования координат.
График функции
– получают путем переноса графика
вдоль оси
на
– верх или вниз в зависимости от знака
.
График
– получается параллельным переносом
графика
по оси
,
при c
> 0 – в отрицательном, а при c < 0 – в
положительном направлении на
.
График функции
получается растяжением графика
вдоль оси
в
раз при
> 1 или сжатием в
раз при 0 <
< 1. В нашем случае график заданной
функции получится путем переноса вершины
параболы
в точку
,
а затем растянув параболу в 2 раза вдоль
оси
.
Задача 95
Задана
функция
на отрезке
.
Требуется: 1) построить график функции
в полярной системе координат по точкам,
давая аргументу
значения через промежуток
;
2) найти каноническое уравнение линии
в прямоугольной декартовой системе
координат, начало которой совпадает с
полюсом, а положительная полуось абсцисс
– с полярной осью, и по уравнению
определить тип линии.
.
1)
Построить график функции в полярной
системе координат по точкам, давая
аргументу
значения через промежуток
.
Составим таблицу значений аргумента и функции:
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
5 |
4,07 |
≈2,661 |
≈1,753 |
1,25 |
≈0,971 |
≈0,817 |
≈0,738 |
≈0,714 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
≈0,738 |
≈0,817 |
≈0,971 |
1,25 |
≈1,753 |
≈2,661 |
4,07 |
5 |
Для
вычерчивания линии проведем радиус-векторы,
соответствующие углам
,
взятым с интервалом
.
На каждом из этих радиус-векторов
откладываем отрезки, численно равные
значению r
при соответствующем значении
из таблицы. Соединяя точки, являющиеся
концами этих отрезков, получим график
данной линии.
2) Найти каноническое уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить тип линии.
Подставляя
и
в уравнение, имеем:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Полученное
уравнение – это каноническое уравнение
эллипса с центром в точке
и полуосями
,
.
Задача 105
Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
-
; 2)
;
3)
;
1) Найти данный предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
;
2) Найти данный предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
3) Найти данный предел, не пользуясь правилом Лопиталя.
Выражение в квадратных скобках есть не что иное, как второй замечательный предел, т.е. число e, а предел показателя степени найдем отдельно:
;
Следовательно:
;
Задача 115
Найти указанные пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
-
; 2)
;
1) Найти данный предел, используя эквивалентную бесконечно малую функцию.
.
2) Найти данный предел, используя эквивалентную бесконечно малую функцию.
Т.к.
аргумент косинуса
не является бесконечно малой функцией,
при
,
то введем замену переменной
,
при
,
,
:
.
Задача 125
Задана
функция
различными аналитическими выражениями
для различных интервалов изменения
аргумента. Найти точки разрыва функции,
если они существуют, и установить их
тип. Сделать чертеж.
Функция
неэлементарная, т.к. задана аналитически.
На интервалах
она
задана аналитически элементарными
функциями, определена на каждом и
является непрерывной. Исключением
являются точки где функция меняет свое
аналитическое выражение, поэтому
исследуем эти точки (x = 0 и x
= 2 ) на непрерывность, для этого вычислим
односторонние пределы:
;
;
;
В
точке x = 0
– непрерывна, т.к. существуют правый и
левый пределы, они равны и равны значению
функции в этой точке;
;
;
– не
определена;
В точке x = 2 находится точка устранимого разрыва, т.к. правый и левый пределы существуют и равны, а функция в данной точке не определена. В этой точке находится разрыв I-го рода.