BM часть 2. Контрольная работа №4. Вариант №8

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет НиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 4

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 8

Выполнил студент: ********

группа ******

Зачетная книжка № ******-**

Электронный адрес ******@****.***

Минск 2011

Задача 138

Найти производную данных функций.

а) б)

в) г) д)

Решение:

а) Используя правило дифференцирования сложной функции:

б) Используя правило дифференцирования сложной функции:

в) Используя правило дифференцирования сложной функции:

г) Используя прием логарифмического дифференцирования и правило дифференцирования сложной функции:

д) Продифференцируем уравнение по , рассматривая как функцию от , и решим полученное уравнение относительно .

Задача 148

Найти и

а) б)

Решение:

а)

б)

Задача 158

Разложить функцию по формуле Тейлора по степеням до члена . Остаточный член записать по форме Пеано.

,

Решение:

– формулой Тейлора n-го порядка с остаточным членом в форме Пеано

Задача 168

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

, .

Решение:

Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:

при , где

Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .

Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:

На отрезке ,

Задача 178

Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.

Решение:

1) Область допустимых значений

2) Функция не является четной или нечетной, так как и

3) Точки пересечения с осями координат:

, при

4) Асимптоты:

– точка разрыва, и т.к. , следовательно – вертикальная асимптота графика

Проверим, существует ли наклонная (горизонтальная) асимптота вида

– горизонтальная асимптота графика

5) Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума:

Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:

при

Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .

На промежутке , следовательно функция убывает

На промежутке , следовательно функция возрастает

На промежутке , следовательно функция убывает

Т.к. , то – точка минимума

6) Выпуклость, вогнутость:

, при

На промежутке , следовательно функция выпукла вверх

На промежутке , следовательно функция выпукла вниз

На промежутке , следовательно функция выпукла вниз

Следовательно, – точка перегиба и

Задача 188

Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить ее график, используя результаты исследования.

Решение:

1) Область допустимых значений

2) Функция не является четной или нечетной, так как и

3) Точки пересечения с осями координат:

нет точек пересечения, т.к.

, при

4) Асимптоты:

В области определения функция является непрерывной, как произведение двух непрерывных функций.

И т.к. , следовательно не вертикальная асимптота графика

Проверим, существует ли наклонная (горизонтальная) асимптота вида

наклонных асимптот нет

5) Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума:

Для нахождения экстремумов функции воспользуемся свойствами производных:

при

Следовательно, на промежутке есть одна критическая точка, при .

На промежутке , следовательно функция убывает

На промежутке , следовательно функция возрастает

Т.к. , то – точка минимума

6) Выпуклость, вогнутость:

, при

На промежутке , следовательно функция выпукла вверх

На промежутке , следовательно функция выпукла вниз

Следовательно, – точка перегиба и

Задача 198

Найти экстремум функции с помощью производных высших порядков.

Решение:

, где – критические точки

– точка минимума

– точка максимума

Задача 208

Найти указанные пределы с помощью правила Лопиталя.

Решение:

– правило Лопиталя