- •1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •2. Даны векторы a(a1; a2; a3), b(b1; b2; b3), c(c1; c2; c3) и d(d1; d2; d3) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.
- •12. Даны координаты вершины пирамиды а1а2а3а4 .Найти:
- •22. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки а(3;0) чем от оси ординат.
- •32. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
- •42. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
- •52. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
- •62. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
- •2. Введение в анализ
- •92. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
2. Введение в анализ
72. Построить график функции преобразованием графика функцииy=sinx.
Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А=-3,.
1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.
2. Увеличивая в три раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, затем, отображая полученную линию зеркально относительно оси ОХ, графика y=sinx, строим график функции y=-3sinx.
3. Увеличивая в 2 раза абсциссы точек графика функции y=-3sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .
4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 3/2 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .
y=sinx
y=-3sinx
82. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
1)
φ |
r |
0 |
1,2 |
π/8 |
1,237685273 |
π/4 |
1,359245518 |
3π/8 |
1,593470229 |
π/2 |
2 |
5π/8 |
2,685004489 |
3π/4 |
3,783611625 |
7π/8 |
5,207244265 |
π |
6 |
9π/8 |
5,207244265 |
5π/4 |
3,783611625 |
11π/8 |
2,685004489 |
3π/2 |
2 |
13π/8 |
1,593470229 |
7π/4 |
1,359245518 |
15π/8 |
1,237685273 |
2π |
1,2 |
2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат
Подставим это значение в уравнение линии:
Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.
Эта линия является эллипсом, с центром в точке (,0).
92. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:
а)
б)
в)
г)
102. Дана функция и два значения аргумента х1=2, х2=4. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;4),(4;+∞).
Исследуем поведение функции в точках х1=2, х2=4. Найдём односторонние пределы.
При х=2 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=4 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.
112. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;0), [0,4],(4;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=0 и х=4. Найдём односторонние пределы.
При х=4 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=0 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=0 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 1+3=4.
График этой функции: