22. Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки а(3;0) чем от оси ординат.
Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:
d
=
=
– расстояние от точки
А(3;0) до
произвольной точки кривой;
d
=
=
=
– расстояние от произвольной точки
кривой до оси ординат. Тогда
или
;
Это гипербола с
полуосями а= 0 и b=
центром в точке (-1;0).
32. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.
1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [поменяем местами
первую и третью строки]=
=
[умножаем первую строчку на -2 и складываем
со второй, умножаем первую на -5 и
складываем с третьей ] =
= [умножаем третью строку на 7, вторую на
-2 и складываем их] =
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Тогда получим решение:
x3 = 0; x2 = -1; x1 =3.
2) Для решения
матричным методом нужно рассмотреть
матричное уравнение: AX
= B,
где A
=
,
X
=
,
B
=
.
Тогда X = A-1B.
Вычислим обратную
матрицу
.
Тогда A-1
=
Получим X
= A-1B
=
=
=
.
42. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений
Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:
= [умножаем первую
строчку на -2, вторую на 3 и складываем
их, умножаем первую на -4, третью на 3 и
складываем их] =
= [ складываем вторую строку с третьей]
=
.
Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:
.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 2. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.
Тогда получим систему:
Пусть х3=t, х4=s тогда получим решение:
х4=s,
x3
= t;
x2
=
;x1
=
.
52. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.
Характеристическое уравнение имеет вид:
1=-1,
2=-1,
3=4
– собственные значения линейного
преобразования.
Для
1=-1
и
2=-1
найдём собственный вектор.
Собственный вектор
для
1=-1
и
2=-1
имеет вид (0;0;0).
Для
3=4
найдём собственный вектор.
.
Собственный вектор
для
3=4
имеет вид (0;0;0).
62. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм
Запишем данное
уравнение в виде:
Найдём матрицу Т
ортогонального оператора, приводящего
данную квадратичную форму 
к каноническому
виду.
Запишем характеристическую матрицу:
Её корнями являются
значения
1=1,
2=6.
Для
1=1
найдём собственный вектор.
,
где t
– любое число.
Собственный
вектор-столбец для
1=1
имеет вид
.
Тогда
есть нормированный собственный
вектор-столбец.
Для
2=7
найдём собственный вектор.
,
где s
– любое число.
Собственный
вектор-столбец для
2=6
имеет вид
.
Тогда
есть нормированный собственный
вектор-столбец.
Ортогональный
оператор, приводящий квадратичную форму
к каноническому виду, имеет матрицу
.
Базисными векторами
новой системы координат
являются:
В системе координат
уравнение данной фигуры примет вид:
Это эллипс, центр
которого находится в точке (0,0) относительно
системы координат
,
а оси симметрии параллельны координатным
осям этой системы.