вариант 10 кр №1.2

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Факультет непрерывного и дистанционного обучения

Специальность: ИИ

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ №1,2,3

ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

Вариант №10

Юрцевич Владислав Николаевич

Группа: 001723

Зачетная книжка:001723-10

№1-10Даны четыре вектора(a_1,a_2,a₃),(b_1,b_2,b₃),(c_1,c_2,c₃)и(d_1,d_2,d₃) в некотором базисе.Показать что векторы ,, образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Задание №10

РЕШЕНИЕ.

(2,1,0), (4,3,-3), (-6,5,7), (34,5,-26).

()== 42+18+3028=620

,, – некомплонарные, т.е. они образуют базис.

=++, где надо найти.

=()

=()

=()

=(34,5,26).

=62

==714520+90468+510140=186

==156+30+104=124

==3

==4

==

=

Ответ: =

№11-20 Даны некоторые вершины пирамиды A₁A₂A₃. Найти: 1)длину ребраA₁A₂; 2)угол между ребрамиA₁A₂ и A₃A₄; 3)угол между ребром A₁A₄ и гранию A₁A₂A₃; 4) площадь грани A₁A₂A₃; 5) объем пирамиды; 6) уравнения прямой A₁A₂; 7) уравнение плоскости A₁A₂A₃; 8) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃. Сделать чертеж.

Задание №20

РЕШЕНИЕ.

(6,6,2),

(5,4,7),

(2,4,7),

(7,3,0).

1)=

2) =

====0,244;

3) Угол между гранью A₁,A₂,A₃ и прямой A₁,A₄ находится по формуле

4)

=

=

=

5) V пир.=

==37

Vпир.;

6) Уравнения прямых: и

И вектор =(1;3;2)направл. Вектор прямой

7) Уравнение плоскости .

(); (); ()

=0

=0

()(6)+(2)=0

()-66()=0

1590612=0

15y+6z102=0

=(0;15;6)

Нормальный вeктор плоскости.

8)(7;3;0)

Уравнение плоскости 15Y6Z-102=0 ; =(0;15;6)

Уравнение высоты K :

Где – e,m,n –координаты

Но т.к. K пл. , то =(0;15;6)

Уравнение высоты имеет вид

==

Ответ: 1)длинна ребраA₁A₂= ; 2)угол между ребрамиA₁A₂ и A₃A₄=; 3)угол между ребром A₁A₄ и гранию A₁A₂A₃=; 4) площадь грани A₁A₂A₃=8,1; 5) объем пирамиды=; 6) И вектор =(1;3;2)направл. Вектор прямой ;

7) =(0;15;6); 8)==

№21-30 Дано уравнение одной из сторон квадрата x+3y-7=0 и точка пересечения его диагоналей P(0;-1). Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата.

Задание№30

РЕШЕНИЕ.

Пусть сторона квадрата Авимеет уравнение

Тогда прямая AC составляет с АВ угол 45

И угловой коэф. К_ас найдем из оавенства

К_ав

; к_ас= ;

АС проходит через точку

Тогда уравнение прямой АС:

Найдем т. А из решения системы

; .

т.А(4;1)

Найдем координаты т. С. Т.к. середина отрезка АС, то имеем ;

т.С.(4;3)

Тогда уравнение АД имеет вид

АД; к_ад

_;

; сл-но и проходит через т.С(-4;-3) , сл-но уравнение ВС :

Сторона и сл-но

и СД проходит через т.С(-4;-3)

3; СД

Ответ: ВС:

СД:

АД:

№31-40 Построить на плоскости область решений системы линейных неравенств.

Задание №40

РЕШЕНИЕ.

o	-6
	0

0
	0

0
	0

№41-50 Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через точку А(2;0).

Задание №50

РЕШЕНИЕ.

a=1

b=0

=1

Окружность c центром в точке (1;0)и R=1

Ответ: Окружность c центром в точке (1;0)и R=1

№51-60 Доказать совместимость данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами 1- Метод Гауса;2- Средствами матричного исчисления.

Задание №60

РЕШЕНИЕ.

1. Метод Гауса

X₁57,55,5 x₁3

X₂ x₂2

x₃-5 x₃5

2.Метод матричного исчисления

=(40)+24+45-5012+72=39≠0

A₁₁=(1)¹⁺¹M₁₁ =10 (18)=8

A₁₂=(1)¹⁺²M₁₂ =4 (15)=111=11

A₁₃=(1)¹⁺³M₁₃ =1225=131=13

A₂₁=(1)²⁺¹M₂₁ =612=61=6

A₂₂=(1)²⁺²M₂₂ =810=181=18

A₂₃=(1)²⁺³M₂₃ =24 (15)=391=39

A₃₁=(1)³⁺¹M₃₁ =910=11=1

A₃₂=(1)³⁺²M₃₂ =124=161=16

A₃₃=(1)³⁺³M₃₃ =20 (6)=261=26

= A^т=

A^-1= A= AA^-1=E

Проверка

AA^-1==E

A^-1B=X

=

X= X₁=3 X₂=2 X₃=5

Ответ : X₁=3 X₂=2 X₃=5

№61-70 Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений.

Задание №70

РЕШЕНИЕ.

r_a=2

Пологаем

=