Контрольная работа №1, 2 - вариант 4
.doc1) построить график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток /8, начиная от =0;
2) найти уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью, и по уравнению определить, какая это будет линия.
Решение:
1) построим график функции в полярной системе координат по точкам, давая значения через промежуток /8, начиная от =0;
2 |
3,24 |
6,83 |
26,27 |
─ |
26,27 |
6,83 |
3,24 |
2 |
1,45 |
1,17 |
1,04 |
1 |
1,04 |
1,17 |
1,45 |
2 |
2) найдем уравнение полученной линии в прямоугольной декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Из условия , с другой стороны, , отсюда ; но , следовательно,
Искомое уравнение – это уравнение параболы с вершиной в т. . График пересекает ось Х в т. и
Координаты т. С , т. , т.
Задача 94. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.
а) б)
в) г)
Решение:
а)
б)
в) Полагая , имеем. Тогда
г)
Задача 104. Заданы функция и два значения аргумента и . Требуется:
1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента;
2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа;
3) сделать схематический чертеж.
Решение:
Функция и неопределенна в т Следовательно в т. разрыва нет, а т. - точка разрыва. Т.к.
и т. не принадлежит области определения функции, то при функция имеет точку разрыва второго рода (бесконечный скачок). Для схематического построения графика функции найдем .
Задача 114. Задана функция различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение:
Область определения функции - вся числовая ось . Разрывы возможны только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции.
Найдем односторонние пределы в т. и значение функции в этой точке:
Т.к. в т. функции определена, конечные односторонние пределы существуют и не равны между собой, то т. - точка разрыва первого рода.
Найдем односторонние пределы в т. и значение функции в этой точке:
Т.к. в т. функции определена, конечные односторонние пределы существуют и равны между собой, то в т. функция непрерывна.