26. Составить уравнение линии, для каждой точки расстояния от начала координат и от точки а(0,5) относятся, как 3:2.

Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. Найдем нужные расстояния:

d = = – расстояние от начала координат до произвольной точки кривой;

d = = – расстояние от точки А до произвольной точки кривой. Тогда

или ;

Это окружность с центром в точке (0;9) и радиусом равным 6.

36. Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

1) Для решения системы методом Гаусса рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строку на -4, вторую на 7 и складываем их, умножаем первую на -2, третью на 7 и складываем их ] = = [умножаем третью строку на 97, вторую на -31 и складываем их] =

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Тогда получим решение:

x₃ = -3; x₂ = -4; x₁ =2.

2) Для решения матричным методом нужно рассмотреть матричное уравнение: AX = B, где A = , X = , B = .

Тогда X = A^-1B.

Вычислим обратную матрицу .

Тогда A^-1 =

Получим X = A^-1B == = .

46. Найти размерность и базис пространства решений однородной системы линейных уравнений

Рассмотрим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

= [умножаем первую строчку на -2 складываем со второй, умножаем первую на -1 и складываем с третьей] = =

[складываем вторую строку с третьей] = .

Ранг расширенной матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Теперь рассмотрим матрицу А и приведём её к треугольному виду аналогичными действиями:

.

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк, т.е. равен 3. Так как ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы, то система совместна.

Тогда получим систему:

Пусть х₃=t, тогда получим решение:

х₄=0, x₃ = t; x₂ =;x₁ = , где t – любое число.

56. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матриц.

Характеристическое уравнение имеет вид:

₁=-2, ₂=1, ₃=9 – собственные значения линейного преобразования.

Для ₁=-2 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для ₁=-2 имеет вид (0;m;0).

Для ₂=1 найдём собственный вектор.

Собственный вектор для ₂=1 имеет вид (;;t).

Для ₃=9 найдём собственный вектор.

.

Собственный вектор для ₃=9 имеет вид (s;;s).

66. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм

Запишем данное уравнение в виде:

Найдём матрицу Т ортогонального оператора, приводящего данную квадратичную форму к каноническому виду.

Запишем характеристическую матрицу:

Её корнями являются значения ₁=1, ₂=10.

Для ₁=1 найдём собственный вектор.

, где t – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₁=1 имеет вид . Тогдаесть нормированный собственный вектор-столбец.

Для ₂=10 найдём собственный вектор.

, где s – любое число.

Собственный вектор-столбец для ₂=10 имеет вид . Тогда есть нормированный собственный вектор-столбец.

Ортогональный оператор, приводящий квадратичную форму к каноническому виду, имеет матрицу .

Базисными векторами новой системы координат являются:

В системе координат уравнение данной фигуры примет вид:

Это эллипс, центр которого находится в точке (0,0) относительно системы координат , а оси симметрии параллельны координатным осям этой системы.