3§ 45. Частные производные функций нескольких переменных
При рассмотрении функции z=f(x,y) двух переменных мы уже рассматривали частные приращения. Мы можем найти предел отношения частного приращения к соответствующему приращению аргумента.
Определение.
Частной производной функции z=f(x,y) по аргументу x называется предел отношения частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента Dx, когда DxÞ0.
, (2-115)
аналогично и по переменной y
, (2-116)
кроме того, частные производные могут обозначаться как:
.
При вычислении частных производных по одной из переменных вторая переменная считается постоянной.
Пример 1
z=x2×sin(y) Þ 2x×sin (y). x2×cos (x).
Пример 2.
) Þ ; .
Замечание:
частные производные могут вычисляться для всех независимых переменных функции нескольких переменных.
Можно предположить, что функции, получаемые в результате дифференцирования по одной из переменных, тоже будут являться функциями нескольких переменных.
Определение: частная производная от частной производной функции называется частной производной второго порядка.
Таких частных производных второго порядка для функции двух переменных будет уже четыре:
. Функция два раза подряд дифференцируется по x;
(2-117)
здесь дифференцируется сначала по x затем по y ;
(2-118)
функция два раза подряд дифференцируема по y;
(2-119)
функция дифференцируема сначала по y, затем по x.
Частные производные находят по правилам и формулам, аналогично формулам для обычных производных. Надо только помнить, по какой производной проводится дифференцирование, считать эту величину изменяющейся, а остальные - постоянными.
Пример.
Найти частные производные второго порядка от функции
z=x3·y2+2·y-6·x+1 Þ z’x=3x2y2-6; z’y=2x3y+2; z”xx =6xy2; =6x2y; z”yy=2x3; z”yx=6x2y.
Как видим, . Таково общее свойство смешанных производных.
Нахождение частной производной
Основная статья: Частная производная
Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.
Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Пусть в некоторой области D имеем функцию Нахождение частной производной
Основная статья: Частная производная
Частная производная обобщает понятие производной на случай нескольких измерений. Частная производная функции нескольких переменных — это производная относительно одной переменной, все другие переменные при нахождении считаются константами.
Для упрощения ограничимся случаем функций от трех переменных; все дальнейшее, однако, справедливо и для функций любого числа переменных.
Пусть в некоторой области D имеем функцию ; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y0 и z0, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x0); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x0 приращение Δx, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .
Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла () используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.
Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.
[править]
Кратное интегрирование; возьмем точку в этой области. Если мы будем считать y и z за постоянные значения y0 и z0, и будем менять x, то u будет функцией от одной переменной x (в окрестности x0); можно поставить вопрос о вычислении ее производной в точке . Придадим этому значению x0 приращение Δx, тогда функция получит приращение , которое можно было бы назвать ее частным приращением (по x), поскольку оно вызвано изменением значения лишь одной переменной. По самому определению производной, она представляет собою предел . Эта производная называется частной производной функции по x в точке .
Аналогично определяются и частные производные функции по y и z в точке . Само вычисление частной производной по существу не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной. Частные производные могут быть объединены интересными способами для создания более сложных выражений производных. В векторном исчислении оператор набла () используется для определения понятий градиента, дивергенции, и ротора с точки зрения частных производных. Матрица частных производных — матрица Якоби — может использоваться для представления производной функции (отображения) между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом производная может быть представлена как линейное преобразование, которое изменяется в зависимости от точки из области определения функции.
Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные, называют дифференциальными уравнениями в частных производных или (Д)УЧП. Эти уравнения как правило сложнее для решения чем обычные дифференциальные уравнения, которые содержат производные относительно только одной переменной.
[править]
Кратное интегрирование