Главная

Школьная математика

Высшая математика

Прикладная математика

Олимпиадная математика

Услуги

Лучшие книги

Форум

Ссылки

Функции многих переменных (СОДЕРЖАНИЕ)

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Вводные понятия. Пусть дано множество , и пусть указано правило, по которому каждой точке соответствует некоторое число . В этом случае говорят, что задана функция с областью определения и областью значений . При этом и называют независимыми переменными (аргументами), а – зависимой переменной (функцией).

Функцию часто записывают в виде «». Схематично функция может быть изображена так, как это показано на рис. 1.

Рис.1.

Пример. На множестве определим функцию ; тогда ее областью значений является отрезок . Эту функцию можно определить, конечно, и на всей плоскости ; в этом случае имеем и .

Графиком функции называют множество точек ; обычно графиком является некоторая поверхность (рис. 2).

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

Пример. Построить график функции и найти . Рис.2.

Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения (рис. 3). ^ Рис.3.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

.

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке , – окружностью радиуса с центром в точке .

Открытый круг радиуса с центром в точке называется -окрестностью точки .

Определение. Точка называется внутренней точкой множества , если существует -окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. ) (рис. 4).

Определение. Точка называется граничной точкой множества , если в любой ее -окрестности содержатся точки, как принадлежащие множеству , так и не принадлежащие ему (рис. 5). Рис.4.

Граничная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

Определение. Множество называется откры-тым, если все его точки – внутренние.

Определение. Множество называется замк-нутым, если оно содержит все свои граничные точки. Множество всех граничных точек множества называется его границей (и часто обозначается символом ). Заметим, что множество является замкнутым и называется замыканием множества . Рис.5.

Пример. Если , то . При этом . Покажите это!

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любой -окрестности точки содержатся точки множества , отличные от .

Образно говоря, точка называется предельной точкой множества , если «к точке можно подойти сколь угодно близко, идя по точкам множества и не наступая на саму точку ». Предельная точка множества может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Пример. Множество совпадает с множеством своих предельных точек. Множество имеет единственную предельную точку . Покажите это!

2. Предел функции.

Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .

В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .

Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).

Пусть и – предельная точка множества .

Определение. Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут

или при .

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример. Найти .

Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда

.

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от . ^

Пример. Найти .

По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует. ^

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

Определение. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

3. Непрерывность функции. Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство

.

Теорема 2. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , , а если , то и функция .

Если мы хотим ввести понятие непрерывной функции на множестве, как функции, непрерывной в каждой точке множества, то само определение непрерывности в точке требует, чтобы каждая точка множества принадлежала ему (либо с некоторой своей -окрестностью, либо как его граничная точка).

Определение. Множество называется областью, если оно:

1) является открытым множеством, т.е. содержит каждую свою точку вместе с некоторой своей -окрестностью; 2) является линейно связным множеством, т.е. для любых двух различных точек существует ломаная, соединяющая и и целиком лежащая в .

Если – область, то множество называют замкнутой областью.

Определение. Говорят, что функция непрерывна в области (или в замкнутой области ), если непрерывна в каждой точке этого множества.

4. Непрерывность по отдельным переменным. Зафиксируем переменную , полагая , а переменной придадим произвольное приращение . Функция получит приращение

,

которое называется частным приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента . Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично,

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

().

В отличие от непрерывности по отдельным переменным обычную непрерывность функции называют иногда непрерывностью по совокупности переменных.

Теорема 3. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

Пример. Докажем, что функциянепрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :

Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.