2§2. Предел функции двух переменных. Непрерывность

δ–окрестностью точки

называется внутренность круга радиуса δ с центром в этой точке.

Иначе говоря, это множество всех точек

, для которых выполняется неравенство

, то есть расстояние

Пусть функция z=f(x,y) определена в некоторой области G плоскости Oxy и точка .

Число A называется пределом функции

при стремлении точки

к точке

, если для любого числа найдется такая – окрестность точки , что для любой точки P из этой окрестности

, кроме, может быть, самой точки, имеет место неравенство .

Обозначают:

или

Для функции трех переменных

– окрестностью точки

является множество всех внутренних точек шара радиуса с центром в точке , определение предела сохраняется.

Функция нескольких переменных называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Правила предельного перехода, установленные для функции одной переменной, остаются справедливыми.

Функция называется непрерывной в точке , если

1) функция определена как в самой точке , так и в некоторой ее окрестности;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в предельной точке: .

Условия (2) и (3) можно заменить равносильным требованием: бесконечно малому расстоянию

соответствует бесконечно малое приращение функции .

Справедлива теорема:

Если функции нескольких переменных

и непрерывны в точке , то в той же точке непрерывны и их сумма

, разность

, произведение

и частное

(последнее–если ).

Точка называется точкой разрыва функции

, если для нее не выполняется хотя бы одно из трех условий в определении непрерывности.

Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Например, функция имеет единственную точку разрыва , а функция –множество точек разрыва, то есть линию разрыва x+y–1=0.

Областью (открытой областью) называется множество точек плоскости, обладающее свойствами:

каждая точка области принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью (свойство открытости);

всякие две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области (свойство связности).

Точка называется граничной точкой области G, если любая окрестность этой точки содержит как точки области G, так и точки, ей не принадлежащие.

Множество всех граничных точек области называется ее границей.

Если к открытой области присоединить ее границу, то полученное множество точек называется замкнутой областью.

Область называется ограниченной, если можно подобрать круг, полностью ее покрывающий. В противном случае область называется неограниченной.

Функция называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Имеет место теорема:

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области

ограничена:;

принимает наименьшее и наибольшее значения (соответственно m и M);

принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и M.