Билет 20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.

Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A, если есть такое число l, что Ax = lx. Число l называется собственным значением оператора, соответствующим данному вектору. Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Т Собственные векторы, отличающие различным собственным значениям линейно независимы (индукция, пусть есть линейная комбинация, подействуем оператором, умножаем исходную комбинацию на последний коэффициент и вычтем из полученной кобинации – получим линейную комбинацию -1 вектора равную нулю).

Следствие: линейный оператор не может иметь больше собственных значений, чем размерность пр-ва.

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если у него есть базис собственных векторов.

Т Линейный оператор имеет простую структуру тогда и только тогда, когда в пр-ве существует базис, в котором он имеет диагональную матрицу (в базисе собственных векторов она имеет диагональный вид).

Следствие: Оператор будет оператором простой структуры тогда и только тогда, когда она имеет столько же собственных значений, сколько размерность пр-ва.

Оператор простой структуры так же называют диоганализуемым оператором.