Министерство образования и науки
Российской федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный университет
пищевых производств»
Зачётная работа
по теме:
«Обработка экспериментальных данных
методами математической статистики».
Вариант 11.
Работу выполнил:
студент группы 09-ИУ-1
Курских А.С.
Работу проверила:
Галушкина Ю.И.
Москва
2011
X |
Z |
X |
Z |
X |
Z |
X |
Z |
67 |
574 |
69 |
546 |
71 |
561 |
75 |
599 |
66 |
575 |
70 |
554 |
73 |
577 |
73 |
581 |
71 |
557 |
73 |
580 |
69 |
545 |
77 |
596 |
72 |
587 |
68 |
543 |
74 |
574 |
72 |
634 |
73 |
607 |
65 |
534 |
67 |
540 |
71 |
566 |
68 |
554 |
73 |
538 |
69 |
535 |
75 |
596 |
71 |
612 |
67 |
550 |
80 |
544 |
79 |
526 |
74 |
621 |
72 |
563 |
77 |
634 |
76 |
629 |
69 |
538 |
68 |
567 |
74 |
632 |
73 |
606 |
69 |
567 |
69 |
566 |
78 |
584 |
65 |
576 |
81 |
555 |
77 |
517 |
73 |
615 |
70 |
514 |
73 |
594 |
71 |
532 |
68 |
535 |
66 |
555 |
68 |
563 |
70 |
546 |
71 |
611 |
64 |
524 |
60 |
581 |
71 |
520 |
65 |
594 |
68 |
534 |
67 |
590 |
64 |
572 |
67 |
567 |
71 |
583 |
59 |
548 |
67 |
543 |
73 |
601 |
74 |
586 |
76 |
578 |
70 |
520 |
67 |
533 |
71 |
562 |
62 |
540 |
67 |
562 |
65 |
541 |
79 |
559 |
67 |
538 |
73 |
577 |
67 |
533 |
73 |
583 |
68 |
540 |
67 |
535 |
67 |
527 |
70 |
557 |
Задача 1. Обработка одномерной выборки признака X методами статистического математического анализа.
1. n=80; xнм=59; xнб=81; h= xнб- xнм=81-59=22;
Вариационный ряд
59 |
60 |
62 |
64 |
64 |
65 |
65 |
65 |
65 |
66 |
66 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
67 |
68 |
68 |
68 |
68 |
68 |
68 |
69 |
69 |
69 |
69 |
69 |
69 |
70 |
70 |
70 |
70 |
70 |
71 |
71 |
71 |
71 |
71 |
71 |
71 |
71 |
71 |
72 |
72 |
72 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
73 |
74 |
74 |
74 |
74 |
75 |
75 |
76 |
76 |
77 |
77 |
77 |
78 |
79 |
79 |
79 |
80 |
81 |
2. Число интервалов
l=1+3.322
lg
80 = 7.322
8;
Длина интервала
=
=
=
3;
Статистический ряд.
№ |
Интервалы
xi |
Середины
|
Частоты mi |
Относительная частота
p |
Накопленная (кумулятивная) частота
F |
1 |
59-62 |
60.5 |
2 |
0,025 |
0,025 |
2 |
62-65 |
63.5 |
6 |
0,075 |
0,1 |
3 |
65-68 |
66.5 |
20 |
0,25 |
0,35 |
4 |
68-71 |
69.5 |
20 |
0,25 |
0,6 |
5 |
71-74 |
72.5 |
18 |
0,225 |
0,825 |
6 |
74-77 |
75.5 |
7 |
0,088 |
0,913 |
7 |
77-80 |
78.5 |
5 |
0,062 |
0,975 |
8 |
80-83 |
81.5 |
2 |
0,025 |
1 |
|
|
|
80 |
1,000 |
|
xi+1
i
=
(x)
59-62 62-65 65-68 68-71 71-74 74-77 77-80 80-83
62 65
68
71 74
77
80 83
3. Оценки числовых характеристик.
# |
Интер-валы xi xi+1 |
Сере-дины i |
p |
F (x) |
|
i
- |
( i - )2 · p |
( i - )3 · p |
( i - )4 · p |
1 |
59-62 |
60.5 |
0,025 |
0,025 |
1,513 |
-9,636 |
2,321 |
-22,368 |
215,541 |
2 |
62-65 |
63.5 |
0,075 |
0,1 |
4,763 |
-6,636 |
3,303 |
-21,917 |
145,441 |
3 |
65-68 |
66.5 |
0,25 |
0,35 |
16,625 |
-3,636 |
3,305 |
-12,017 |
43,695 |
4 |
68-71 |
69.5 |
0,25 |
0,6 |
17,375 |
-0,636 |
0,101 |
-0,064 |
0,041 |
5 |
71-74 |
72.5 |
0,225 |
0,825 |
16,313 |
2,364 |
1,257 |
2,972 |
7,027 |
6 |
74-77 |
75.5 |
0,088 |
0,913 |
6,644 |
5,364 |
2,532 |
13,582 |
72,851 |
7 |
77-80 |
78.5 |
0,062 |
0,975 |
4,867 |
8,364 |
4,337 |
36,277 |
303,423 |
8 |
80-83 |
81.5 |
0,025 |
1 |
2,038 |
11,364 |
3,229 |
36,689 |
416,932 |
|
|
|
|
|
70,636 |
|
20,385 |
33,154 |
1024,951 |
Выборочное среднее
=
=
70,636
Выборочная мода
=
68 + 3 ·
= 71.5
Выборочная медиана
=68+3
·
= 72.8
Выборочная дисперсия S2= ( i - )2 · p = 20,385
Выборочное среднее
квадратическое отклонение S
=
=
4,514
Выборочный
коэффициент вариации V
=
· 100% =
·
100% = 6,391 %
Выборочный коэффициент асимметрии
А=
=
=
0,36
Выборочный коэффициент эксцесса
Е
=
-3
=
-
3 = -0,5313
|
|
|
S2 |
S |
V% |
А |
Е |
70,636 |
61,625 |
63,8 |
20,385 |
4,514 |
6,391 % |
0,36 |
-0,5313 |
С учетом «поправок Шеппарда»
S2
= 20,385-
=
19,635
S
=
=4,431
V
=
· 100% = 6,364 %
А =
=
0,38
Е
=
- 3 =
-0,5862
Оценки
|
|
|
S2 |
S |
V% |
А |
Е |
70,636 |
71.5 |
72.8 |
19,635 |
4,431 |
6,364 % |
0,38 |
-0,5862 |
Выводы.
1.
(
68; 71],Me=
( 71;74]
2. Интервал (x-3S; x+3S) => (57,52;81,73) содержит всю выборку.
3. A = 0,38, так как А>0 длинная часть распределения лежит справа от центра.
4. E = -0,5862< 0, так как E < 0, то вершина распределения по сравнению с нормальным распределением, более низкая и плоская.
Для графического сравнения гистограммы и кривой нормального распределения заполним следующую таблицу.
# |
Интервалы xi xi+1 |
Середины i |
p |
Нормированные середины |
|
|
1 |
59-62 |
60.5 |
0,025 |
-2,14 |
0,0404 |
0,0268 |
2 |
62-65 |
63.5 |
0,075 |
-1,47 |
0,1354 |
0,0900 |
3 |
65-68 |
66.5 |
0,25 |
-0,81 |
0,2874 |
0,1911 |
4 |
68-71 |
69.5 |
0,25 |
-0,15 |
0,3945 |
0,2623 |
5 |
71-74 |
72.5 |
0,225 |
0,52 |
0,3485 |
0,2317 |
6 |
74-77 |
75.5 |
0,088 |
1,19 |
0,1965 |
0,1306 |
7 |
77-80 |
78.5 |
0,062 |
1,57 |
0,1163 |
0,0773 |
8 |
80-83 |
81.5 |
0,025 |
2,32 |
0,0270 |
0,0179 |
|
|
|
1 |
|
|
0,9753 |
Здесь нормальные середины:
;
=
=
= 0,665
Гистограмма и нормальная кривая
На графике представлена гистограмма статистического ряда, а также подобранная теоретическая кривая нормального распределения. Можно видеть, что теоретическая кривая отличается от эмпирического распределения.
4. Выдвигаем гипотезу
о том, что выборка извлечена из нормальной
генеральной совокупности, где за
неизвестные параметры распределения
и
принимаются
соответственно их числовые оценки
=70.636
и S=
4,514, и проверим
эту гипотезу с помощью критерия
Колмогорова-Смирнова (К-С) и критерия
Пирсона, с уровнями значимости
= 0.1 и
= 0.05.
Проверка гипотезы с помощью критерия К-С.
Функция К
=1
– 0,1 = 0,9; отсюда
1=
1,23
К = 1 – 0,05 = 0,95; отсюда 2= 1,36
Dкр
=
=
=0,1375
Dкр
=
=
=0,1521
Таблица для расчета
# |
Середины интервалов i |
Кумулятивная частота F (x) |
Нормированные середины
|
F(
i)= |
|F
-
|
1 |
60.5 |
0,025 |
-2,14 |
0.0162 |
0.0088 |
2 |
63.5 |
0,1 |
-1,47 |
0.0708 |
0.0292 |
3 |
66.5 |
0,35 |
-0,81 |
0.2090 |
0.141 |
4 |
69.5 |
0,6 |
-0,15 |
0.4404 |
0.1356 |
5 |
72.5 |
0,825 |
0,52 |
0.6989 |
0.1261 |
6 |
75.5 |
0,913 |
1,19 |
0.8830 |
0.03 |
7 |
78.5 |
0,975 |
1,57 |
0.9418 |
0.0332 |
8 |
81.5 |
1 |
2,32 |
0.9898 |
0.0102 |
|
= 0.1356
Вывод: 0.1356<0,1375
0.1356<0,1521
Так как < Dкр и для = 0.1, и для = 0.05, то приходим к выводу, что опытные данные не противоречат выдвинутой гипотезе о нормальном распределении и она принимается и с уровнем значимости = 0.1, и с уровнем значимости = 0.05.
Проверка гипотезы с помощью критерия Пирсона.
=
8 – 2 – 1= 5
= 9,24 при
=0,1
= 11,07 при =0,05
Таблица для расчета
№ |
Интервалы xi xi+1 |
Частоты mi |
|
|
|
1 |
59-62 |
2 |
0.0232 |
1.856 |
0,0112 |
2 |
62-65 |
6 |
0.1007 |
8.056 |
0,5247 |
3 |
65-68 |
20 |
0.1754 |
14.032 |
0,4253 |
4 |
68-71 |
20 |
0.2509 |
20.072 |
0,0003 |
5 |
71-74 |
18 |
0.2215 |
17.72 |
0,0044 |
6 |
74-77 |
7 |
0.1373 |
10.984 |
1,4450 |
7 |
77-80 |
5 |
0.0605 |
4.84 |
0,0053 |
8 |
80-83 |
2 |
0.0157 |
1.256 |
0,4407 |
|
|
80 |
0.9852 |
|
2,8569 |
=
P(59< x<62)=
Ф(-1.91)
- Ф(-2.58)
= 0.0281-0.0049 = 0.0232
=
P(62< x<65)=
Ф(-1.25)
– 0.0049 = 0.1056 – 0.0049 = 0.1007
=
P(65< x<68)=
Ф(-0.58)
– 0.1056 = 0.2810 – 0.1056 = 0.1754
=
P(68< x<71)=
Ф(0.08)
– 0.2810 = 0.5319 – 0.2810 = 0.2509
=
P(71< x<74)=
Ф(0.75)
– 0.5319 = 0.7734 – 0.5319 = 0.2215
=
P(74< x<77)=
Ф(1.41)
– 0.7734 = 0.9207 – 0.7734 = 0.1373
=
P(77< x<80)=
Ф(2.08)
– 0.9207 = 0.9812 – 0.9207 = 0.0605
=
P(80<
x<83)=
Ф(2.74) – 0.9812 = 0.9969 – 0.9812 = 0.0157
Вывод:
2,8569< 9,24; 2,8569< 11,07, т. е. < и при =0,1 и при = 0,05 выдвигаемая гипотеза принимается и с уровнем значимости =0,1 и с уровнем значимости = 0,05.
5. Считая, что
выборка извлечена из нормальной
генеральной совокупности, построим
доверительные интервалы, накрывающие
неизвестное математическое ожидание
с доверительными вероятностями
=0,9;
0,95; 0,99.
Строим доверительные
интервалы
=
для
=
70,636;
=
4,514;
=
=
8,944;
№ |
|
|
t |
Левая граница |
Правая граница |
Длина интервала |
1 |
0,9 |
0,1 |
1,66 |
69,7977 |
71,4743 |
1,6766 |
2 |
0,95 |
0,05 |
1,99 |
69,6311 |
71,6409 |
2,0098 |
3 |
0,99 |
0,01 |
2,64 |
69,3028 |
71,9692 |
2,6664 |
P
69,7977<a<71,4743
=0.9;
P 69,6311 <a<71,6409 =0.95;
P 69,3028<a<71,9692 =0.99;
С увеличением доверительной вероятности последовательно 0,9; 0,95; 0,99 ширина доверительного интервала увеличивается соответственно: 1,6766; 2,0098; 666483;
Построим доверительные интервалы, накрывающие неизвестную дисперсию с доверительными вероятностями =0,9; 0,95; 0,99.
Строим доверительные
интервалы
=
для 2= 20,385; n = 80;
№ |
|
|
|
1- |
|
|
Левая граница |
Правая граница |
Длина интервала |
1 |
0,9 |
0,1 |
0,05 |
0,95 |
60,3 |
101,9 |
15,8341 |
26,7067 |
10,8726 |
2 |
0,95 |
0,05 |
0,025 |
0,975 |
57,1 |
106,6 |
15,1071 |
28,2034 |
13,0963 |
3 |
0,99 |
0,01 |
0,005 |
0,995 |
51,1 |
116,3 |
13,8471 |
31,5149 |
17,6678 |
P
15,8341<
<
26,7067
=0.9;
P 15,1071< <28,2034 =0.95;
P 13,8471< < 31,5149 =0.99;
С увеличением доверительной вероятности последовательно 0,9; 0,95; 0,99 ширина доверительного интервала увеличивается соответственно: 10,8726; 13,0963; 17,6678;
Построим доверительные интервалы, накрывающие неизвестное квадратическое отклонение с доверительными вероятностями
=0,9; 0,95; 0,99.
P 3.9792< < 5.1678 =0.9;
P 3.8867 < < 5.3107 =0.95;
P 3.7212 < < 5.6138 =0.99;
Задача 2. Обработка одномерной выборки признака Z методами статистического математического анализа.
1. n=80; zнм=514; zнб=634; h= zнб- zнм=634-513=119;
Вариационный ряд
514 |
517 |
520 |
520 |
524 |
526 |
527 |
532 |
533 |
533 |
534 |
534 |
535 |
535 |
535 |
538 |
538 |
538 |
540 |
540 |
540 |
541 |
543 |
543 |
544 |
545 |
546 |
546 |
548 |
550 |
554 |
554 |
555 |
555 |
557 |
557 |
559 |
561 |
562 |
562 |
563 |
563 |
566 |
566 |
567 |
567 |
567 |
572 |
574 |
574 |
575 |
577 |
577 |
576 |
578 |
580 |
581 |
581 |
583 |
583 |
584 |
586 |
587 |
590 |
594 |
594 |
596 |
596 |
599 |
601 |
606 |
607 |
611 |
612 |
615 |
621 |
626 |
632 |
634 |
634 |
2. Число интервалов l= lx-1 =7;
Длина интервала
=
=
=
17;