19. Криволінійні інтеграли першого роду: означення, його існування, обчислення, властивості.

Н ехай на площині Оxу задана неперервна крива АВ (або L) довжини 1. Розглянемо неперервну функцію f(х; у), визначену в точках дуги АВ. Розіб'ємо криву АВ точками на n довільних дуг M₀=A,M₁,M₂…,M_n=B на дуги M_i-1M_i з довжинами (див. рис. 1). Виберемо на кожній дузі M_i-1M_i довільну точку і складемо суму

1.1)

Її називають інтегральною сумою для функції f(x;y) по кривій АВ.

Нехай - найбільша з довжин дуг ділення. Якщо при (тоді ) існує кінцева границя інтегральних сум (1.1), то її називають криволінійним інтегралом від функції f(x;y) по довжині кривої АВ ( або I роду) і позначають: або

Таким чином, за визначенням = (1.2)

Умова існування криволінійного інтеграла I роду (існування межі інтегральної суми (1.1) представляє наступна теорема, яку ми приводимо тут без доведення.

Теорема Якщо функція f (х;у) незперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці (х; у) є L існує дотична до даної кривої і положення її безперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл I роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точки в них.

Аналогічним чином вводиться поняття криволінійного інтеграла від функції f(х; у; z) по просторовій кривій L. Приведемо основні властивості криволінійного інтеграла по довжині дуги (I роду).

1. = , тобто криволінійний інтеграл I роду не залежить від напряму шляху інтегрування.

2. =с ,с=const.

3.

4. = + , якщо шлях інтегрування L розбити на частини L₁ і L₂ такі, що L= L₁U L₂ і L₁ і L₂ мають єдину спільну точку (властивість адитивності по області інтегрування).

5. Якщо для точок кривої L виконана нерівність , то

6. — де довжина кривої АВ.

7. Якщо функція f(х; у) неперервна на кривій АВ, то на цій кривій знайдеться точка , така що = f (теорема про середнє)

Обчислення криволінійного інтеграла I роду

Обчислення криволінійного інтеграла I роду може бути зведено до обчислення визначеного інтеграла. Приведемо без доведення правила обчислення криволінійного інтеграла I роду у випадках, якщо криву L задала параметричним, полярним і явним (ДСК) чином.

19. Застосування криволінійного інтеграла першого роду: Маса матеріальної кривої, центр маси, момент інерції.

Маса кривої .

Маса матеріальної кривої АВ (дріт, ланцюг, трос тощо) визначається формулою , де - густина кривої в точці М.

Розіб'ємо криву АВ на n елементарних дуг . Нехай — довільна точка дуги . Вважаючи ділянку дуги однорідною, тобто густина в кожній точці дуги така ж, як і в точці , знайдемо приблизне значення маси , дуги :

Підсумовуючи, знаходимо наближене значення маси: (1.7)

За масу кривої АВ приймемо границю суми (1.7) за умови, що max

або, згідно формулі (1.2) m=

(Помітимо, що границя існує, якщо крива АВ гладка, а густина задана неперервною в кожній точці АВ функцією.)

Статичні моменти, центр ваги

Статичні моменти щодо осей Ох і Оу і координат центру ваги матеріальної кривої АВ визначаються по формулах: , , ,

Моменти інерції

Для матеріальної кривої АВ моменти, інерції щодо осей Ох, Оу і початки координат відповідно рівні:

, , ,