7. Випадкове середнє та дисперсія. Емпірична функція розподілу. Теореми глівенка та колмогорова

Озн. Вибірка - мат. модель незалежних вимірювань, що проводяться в однакових умовах.

Основною характеристикою вибірки є емпірична функція розподілу.

Озн. Емпірична функція розподілу - це функція вигляду

, де

інакше кажучи, це сума тих елементів вибірки, поділена на n, які попали лівіше,ніж n. Очевидно, що ця функція також випадкова.

Озн. Варіаційний ряд- елементи вибірки, розміщені в порядку зростання:

.

Озн. Кажуть, що послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до , якщо

,

та .

Має місце слідуюча теорема:

Теорема. Якщо F(x) - теоретична функція розподілу, то справедливе наступне твердження:

.

Доведення. Нехай x_k - довільний елемент вибірки. Розглянемо множини та . В схемі Бернуллі

р = F(x)=p, p = 1 - F(x) = q.

Тоді для кожного x емпірична функція розподілу буде показувати кількість успіхів, поділену на n, в схемі Бернуллі з n випробуваннями та характеристиками p та q. Далі, за законом великих чисел в схемі Бернуллі маємо

, що і доводить теорему.

Все.

Озн. Вибірковий момент 1-го порядку - вибіркове середнє визначається для вибірки з генеральної сукупності за формулою:

, а вибіркова дисперсія - центрований момент 2-го порядку:

².

Також мають місце слідуючі важливі теореми.

Теорема Глівенка.

Для довільної функції розподілу справедливе твердження

.

Теорема Колмогорова.

Для довільної неперервної функції розподілу F(x) справедливе наступне твердження:

,

де K(z) - функція розподілу Колмогорова.

Тобто

K(z)=

Тобто якщо задати якесь значення і підібрати таке , що К( )= , то з ймовірністю (1- ) для всіх x :

8.Перевірка статистичних гіпотез. Критерії згоди колмогорова і 2 ( критерій пірсона).

Задача перевірки гіпотез відноситься до 3-го типу задач мат. статистики. Ця задача полягає у визначенні на основі спостережень узгодженності наявної інформації з тим чи іншим припущенням про значення невідомого параметру . Існує два типи гіпотез, що перевіряються:

1. типу альтернативного вибору;

2. типу .

Альтернативний вибір.

У задачі перевірки гіпотез типу АВ формулюються два припущення, щодо можливості значення невідомого параметру . Ці припущення позначаються як та . На основі виборки , треба сформулювати правило, яке б робило вибір на користь тієї чи іншої гіпотези.

Оскільки кожна серія спостережень дає нову вибірку,то висновки про ту чи іншу гіпотезу ( що базуються на основі правила ) будуть носити випадковий характер. Отже, в задачі АВ вводять додаткову характеристику: довірчу ймовірність - ймовірність прийняття гіпотези , коли вона є справедливою.

Більш формально: , , , .

В задачі АВ необхідно з двох однотипних припущень та про значення параметру вибрати одне . Ймовірність вибору першого, коли воно дійсно вірне , повинна бути , а також ймовірність відхилення другого, якщо насправді воно справедливе, повинна бути мінімальною. Ці дві ймовірності в математичній статистиці прийнято називати похибками першого та другого роду відповідно. Тобто необхідно прийняти рішення при фіксованій похибці першого роду і так , щоб похибка другого роду була мінімальною.

Типу .

У задачі перевірки гіпотези типу висувається наступна гіпотеза: і її альтернатива: . Отже у цьому типі гіпотез на відміну від попередньго випадку, основна гіпотеза і альтернативна є різними за типом : - одинична та - множинна .

Отже в цій задачі треба із імовірністю підтвердити припущення , коли воно є вірним чи відхилити його.

Критерій Смірнова-Колмогорова.

Цей критерій застосовується для перевірки гіпотез типу , які мають форму припущення про вигляд функції розподілу.

Маємо вибірку з геральної сукупності

, де - будь-яка задана, тобто функція розподілу перевіряється на співпадання з заданою.

Алгоритм критерію:

1. Будуємо статистику , де - емпірична функція розподілу. Тоді справедлива

Теорема. (Колмогорова).

Якщо вибірка була побудована з функцією розподілу ( повинна бути неперервною), тобто має місце наше припущення, то

. Тобто якщо припущення зроблено не правильно, то данної границі , взагалі кажучи, може не існувати.

2. По вибранному знаходимо : , далі - довірча область для .

3. Приймаємо рішення в залежності від справедливості співвідношення : : + - приймається

- - відхиляється

Критерій (Пірсона).

Цей критерій застосовуєьтся для перевірки гіпотез для групованих вибірок.

Озн. Групована вибірка - це представлення вихідної вибірки у вигляді розбиття на групи, що не мають спільних елементів і охоплюють всю вибірку. Висувається ознака кожної з груп і кількість елементів (абсолютна частота) у кожній групі. Ознаками групування (груп) у дискретному випадку є можливі значення спостережень, у неперервному - інтервали можливих значень спостережень.

Гіпотеза, до якої застосовується вказаний критерій, має вигляд припущень про ймовірність належності будь-якій з груп групованої вибірки:

Алгоритм критерію.

1. Статистика критерію: , де

- абсолютні кількості віднесення до i-ї групи у відповідності з припущенням гіпотези;

- абсолютна частота;

- характеристика розходження наявної абсолютної частоти кожної групи і передбачуваної у відповідності з припущенням гіпотези.

Твердження про розподіл статистики має асимптотичних характер: розподіл _N при співпадає з .

Іноді користуються модифікованим твердженням про вигляд граничного розподілу.

Він має вигляд , де - кількість груп, - кількість невідомих параметрів , що ,залежать від цих параметрів.

Алгоритм подальших дій у критерії співпадає із звичайними кроками критерію згоди:

2. - довірча область;

3. : + - приймається

- - відхиляється

12