1. Аксіоматичне означення ймовірності. Формула повної імовірності та ф-ла Баєса. 2

2. Випадкові величини. Властивості функцій розподілу. 3

3.Нерівність Чебишева. Закон великих чисел 4

4. Основні типи дискретних та неперервних розподілів. 5

5.Центральна гранична теорема 1 7

для однаково розподілених незалежних випадкових величин 7

6. ПОНЯТТЯ ВИПАДКОВОГО ПРОЦЕСУ. ВІНЕРІВСЬКИЙ ТА ПУАСОНІВСЬКИЙ ПРОЦЕСИ. 8

7. ВИПАДКОВЕ СЕРЕДНЄ ТА ДИСПЕРСІЯ. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. ТЕОРЕМИ ГЛІВЕНКА ТА КОЛМОГОРОВА 9

8.ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ. КРИТЕРІЇ ЗГОДИ КОЛМОГОРОВА І ² ( КРИТЕРІЙ ПІРСОНА). 10

Теорія ймовірностей

1. Аксіоматичне означення ймовірності. Формула повної імовірності та ф-ла Баєса.

Спочату введемо кілька допоміжних понять.

Озн. Множина U є алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Озн. Множина U є -алгеброю, якщо

1)

2) і

3).

Будемо вважати, що множина всіх подій утворює -алгебру.

Озн. Числову функцію, задану на множині всіх подій U, будемо називати ймовірністю, якщо

1. Р(А) 0;

2. Р( )=1; Р( )=0;

3. .

Озн. Ймовірносний простір- це трійка об єктів: ( ).

Озн. Під аксіоматикою теорії ймовірності розуміють три властивості, накладені на U, і три властивості накладені на Р.

Відомо ряд важливих наслідків з цих властивостей, які легко доводяться. Приведемо їх.

1. Якщо , то _.

2. .

3. P( )= 0.

4. P( )=P(A)+P(B)-P( ), .

5. Неперервність зверху:

і = , тоді має місце .

Озн. Умовною ймовірністю прийнято називати величину Р(А/В)=

Озн. А і В - незалежні події, якщо Р( )=Р(А)Р(В).

Озн. Кажуть, що утв-ють повну групу подій, якщо

.

Формула повної ймовірності має вигляд, якщо - повна група подій,

. Дійсно

Формула Баєса відповідно має вигляд (при тих же припущеннях)

2. Випадкові величини. Властивості функцій розподілу.

Нехай маємо ймовірносний простір ( , F, P). - деяка функція, визначена на .

Озн. -буде вимірною функцією, якщо

, де F алгебра.

Озн. Вимірна функція - випадкова величина ,

.

Озн. F(x)= - функція розподілу випадкової величини .

Властивості функцій розподілу.

1. F(x) – невід’ємна

2. F(x) - монотонно неспадна.(x1>=x2 => F(x1)>=F(x2) )Справді:

Отже

3. F(x) - неперервна зліва. Тобто F(x-0) = F(x)

4. Нормованою F(- ) = 0 , F(+ ) = 1.

Дискретні випадкові величини.

Нехай < >  ймовірнісний простір. Дискретною випадковою величиною називається функція  на , яка набуває скінченне або зліченне число значень х₁, х₂, …, х_n , … і є вимірною відносно   алгебри . Це означає, що для кожного х_і {  :  x}   (1).Дійсно, якщо для функції  має місце співвідношення (1), то ця функція вимірна відносно , так як для кожного дійсного х {  :  x}= {  :  x_і}  . Крім того, якщо  вимірна відносно   алгебри , то за Теоремою 1 для кожного дійсного х {  :  x }  . Таким чином, якщо   дискретна випадкова величина на ймовірнісному просторі < >, яка приймає значення х₁, х₂, …, х_n, …, то для кожного n визначена ймовірність Р_n=Р{  :  x_n} Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значення х₁,…, х_і,…. Набір чисел Р{:()=x_i}=p_i (i=1,2,…) називають р о з п о д і л о м випадкової величини . Зрозуміло, що р_і  0, .

Функція розподілу дискретної випадкової величини () визначається рівністю

Сумісний розподіл випадкових величин () і (). Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х₁, х₂,…, х_і,…, () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень y₁, y₂,…, y_і,…. Набір чисел Р{:()=x_i, ()=y_i}=p_ij (i=1, 2, …; j=1, 2, …) називається сумісним розподілом випадкових величин  і  (розподілом випадкового вектора (, )). Мають місце такі твердження:

а) р_ij0,

б) де {p_i} розподіл (), {q_i} – розподіл ().

Незалежні випадкові величини. Випадкові величини  і  н а з и в а ю т ь с я н е з а л е ж н и м и, якщо для будь-яких i j

P{()=x_i, ()= y_i} = P{()=x_i}  P{()= y_i}.

Математичне сподівання випадкової величини. Нехай () – дискретна випадкова величина, яка набуває значень х_і з імовірностями р_і(і=1, 2, …). Припустимо, що ряд х_ір_і збігається. Тоді м а т е м а т и ч н и м с п оді-

в а н н я м випадкової величини () називається сума ряду М () = Якщо х_ір_і=+, то кажуть, що випадкова величина () не має математичного сподівання. Математичне сподівання суми випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань.

Дисперсія випадкової величини () визначається рівністю

D=M[- M]²= M²-( M)²=

Властивості дисперсії.

1. D=0 =соnst;

2. D=

3. D(C)=c² D;

4. D( C)= D .

5. Якщо та незалежні випадкові величини, то D( )= D +D .

Коєфіцієнт коваріації випадкових величин та це: cov(, )=M(-M)(-M).

Коефіцієнт кореляції. К о є ф і ц і є н т о м к о р е л я ц і ї випадкових величин  і  називаються

Мають місце такі твердження:

а) r(, ) 1;

б) якщо  і  незалежні, то r(, )=0;

в) якщо r(, )=1, то з імовірністю одиниця =а+b, де а і b – деякі сталі.