3.Нерівність Чебишева. Закон великих чисел

Визначення. Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини , якщо для довільного

Р { }=0 . Збіжність по ймовірності послідовності до позначають так : ₌plim , або _.

Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М . Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця збігається до нуля по ймовірності.

Нерівність Чебишева:

, де - математичне сподівання та дисперсія в.в. відповідно.

Теорема Чебишова. Нехай { }- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i D при всіх n. Тоді . (* )

Наслідок. Нехай ₁, ₂ ,…, _n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М =а, D , n=1,2,…

Тоді для кожного .

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань ₁, ₂ ,…, _n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М =а, то згідно сформульованому вище наслідку,

Теорема Хінчина. Нехай { }- послідовність незалежних одинаково розподілених величин, які мають скінчене математичне сподівання М =а. Тоді для кожного .

Теорема Маркова. Нехай випадкові величини ₁, ₂ ,…, _n як завгодно залежні. Для виконання ( * ) достатньо, щоб

при .

Теорема Бернуллі. Нехай маємо послідовність випробовувань, в кожному з яких можуть бути два наслідки- успіх У ( з ймовірністю р ) або невдача Н ( з ймовірністю q=1-p) незалежно від наслідків інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Нехай _к =1, якщо в к-тому випробовуванні був успіх _к =0, якщо в к-тому випробовуванні наступила невдача. Тоді { }- є послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин M _к=p, D _к=pq. Випадкова величина представляє собою частоту появи успіху в перших n випрбуваннях. Оскільки для послідовності { }-виконані умови теореми Чебишова, то із теореми Чебишова одержуємо наступне твердження.

Теорема Бернуллі. Для довільного Р{ при n .

Зміст цього твердження полягає в тому, що ведене нами визначення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти.

Теорема. Нехай - незалежні однаково розподілені випадкові величини, причому , тоді

.

Закон великих чисел є математичниим підгрунтям для частотного визначення математичного сподівання як інтегральної характеристики розподілу: .

4. Основні типи дискретних та неперервних розподілів.

• Основні дискретні розподіли.

- дискретна множина, скінченна або злічена.

Теорема Ймовірність на булеані дискретної множини можна задати набором невідємних чисел, що =1, і ймовірність довільної множини А дорівнює: .

Цей набір наз. рядом розподілу.

1. Бернулівський розподіл з параметром p.

має 2 параметра: p і q ,

Ряд розподілу: .

Цей розподіл описує кількість появ деякої події у одному випробуванні з імовірністю появи р.

2. Біноміальний розподіл

Ряд розподілу:

Цей розподіл описує кількість появ деякої події в n незалежних спостереженнях(випробуваннях), коли ймовірність появи події в одному випробуванні дорівнює p.

3. Геометричний розподіл з параметром p.

Ряд розподілу:

Цей розподіл описує кількість спостережень до першої появи деякої події у n незалежних випробуваннях, коли спостереження незалежні і ймовірність появи цієї події в одному спостереженні дорівнює p.

4. Пуассонівський розподіл з параметром .

Пуассонівська в. в. є кількістю появ точкових елементів у сукупності фіксованого розміру за середньою кількістю елементів на цю сукупність ( )

• Неперервні розподіли.

Це розподіли з неперервною функцією розподілу F(x). Якщо F(x) - гладка функція, то . Ця функція f(x) - називається щільністю розподілу.