Билет 8. Основная формула интегрального исчисления. Интегрирование по частям.

Если ф-ция интегрируема на сегменте, то для любой точки этого сегмента можно определить ф-цию $(p, x)f(t)dt, которая называется интегралом ф-ции с переменным верхним пределом. Аналогично определяется на интервале, при условии, что функция интегрируема на любом сегменте этого интервала.

Т1 Если ф-ция интегрируема на сегменте, то производная интеграла с переменным верхним пределом существует в каждой точке непрерывности подынтегральной функции, причем её производная равна подынтегральной функции (тк подынтегральная непрерывна, то для любого e найдется d, такое, что f(x0) – e< f(x) < f(x0) + e, |x – x0| < d, для любого t из окрестности тоже верно, интегрируем неравенство, по середине получаем производную).

Следствие Т1 Любая функция непрерывная на сегменте имеет первообразную, одна из которых интеграл с переменным верхним пределом.

Основная Теорема Интегрального исчисления: определенный интеграл функции по сегменту равен разности значений произвольной ее первообразной в концах (рассматриваем первообразную в следствии, любые две первообразные отличаются не более чем на константу, рассматриваем разность первообразных от концов).

Т2 Правило замены переменных Если g(t) диф-ма на сегменте [m, M], g(m) = a, g(M) = b, то $(a, b)f(x)dx = =$(m,M)f(g(x))g`(x)dx, если f(x) непрерывна на сегменте [a, b] (Через равенство первообразных)

Т3 Интегрирование по частям $(a, b)f(x)g`(x)dx = f(x)g(x)|a,b| - $(a, b)g(x)f’(x)dx (через сумму интегралов).

Билет 9. Понятие длины плоской кривой. Формулы для вычисления длины дуги кривой.

Множество всех точек, координаты которых x = a(t) y = b(t), где t принадлежит [u, v], называется простой плоской кривой, если различным значениям параметра соответствуют разные точки множества. Точки, соответствующие концам интервала, называют граничными точками. Будем говорить, что система сегментов разбивает множество, если 1) их объединение даёт все мн-во, 2) общими точками различных сегментов могут быть лишь концы. Будем говорить, что уравнения задают параметризуемую кривую, если существует такая система сегментов, разбивающий всю область определения, что для каждого сегмента они определяют простую кривую. Прямая – линия определяемая линейными параметрическими уравнениями. Любые две точки можно соединить прямой. Участок прямой между двумя точками – отрезок, совокупность конечного числа примыкающих друг к другу отрезков – ломаная. Пусть задана кривая, параметр которой изменяется в пределах сегмента. Для произвольного разбиения этого сегмента строим ломаную, вершины которой принадлежат кривой, точки взяты в соответствии с разбиением. Эта ломаная – ломаная, вписанная в кривую, её длина считается по сумме длин всех ребер. Кривая называется спрямляемой, если мн-во длин всех кривых в неё вписанных ограничено, при этом его точная верхняя грань называется длиной кривой.

Л1 При добавлении точки к разбиению длина ломаной увеличивается (неравенство треугольника).

С1 Длина кривой не зависит от параметризации (взять декартов квадрат множества точек ломанной, множество его подмножеств одно и то же).

С2 Если спрямляемую кривую разбить на несколько, то каждая из полученных будет спрямляема (доказать ограниченность через ограниченность суммы)

Функция имеет на сегменте непрерывную первую производную, если её первая производная непрерывна в любой внутренней точке сегмента и существуют конечные пределы в границах. Функция имеет ограниченную производную…. Производная функции интегрируема, если она существует во всех точках сегмента и, после доопределения в концах конечными значениями, представляет собой конечную функцию.

Т Если две функции q(t) и w(t) непрерывны и имеют непрерывные первые производные, то кривая, ими задаваемая, спрямляема и её длина |L| = $(a, b)sqtr(q`(t)^2 + w`(t)^2)dt

Док-во:

Заменим выражение для длины ломаной по Лагранжу |l| = ADD(k = 1, n)sqrt(q`(ek)^2 + w`(bk)^2)dtk – производные непрерывны  ограничены, максимальная длина ограничена. Рассмотрим интегральную сумму функции sqrt(q’(t)^2 + w’(t)^2), где в качестве промежуточных точек выберем ek, рассмотрим разность длины и интеграла (избавится от иррациональности в числителе) и в силу ограниченности w’ получим что ||l|| - ADD| < S-s <a/4, (a – здесь эпсилон) ADD – I < a/4  |l| - I < a/2, по определению длины кривой есть ломаные близкие к ней на a/2, измельчаем одну из них, до диаметра меньше выбранного и получаем, чтд.

Следствия:

Если кривая является графиком непрерывной и имеющей непрерывную производную функции, то она спрямляема.

Если кривая задана полярным уравнением, то её длина $(O0 – O1)sqrt(r(O)^2 + r’(O)^2)dO