Билет 4. Понятие интегрируемости функции. Леммы Дарбу о верхних и нижних суммах.

Разбиение сегмента [a,b] задано, если заданы такие точки, что a = x0 <x1<…<xN-1<xN=b. Измельчением разбиения 1 называется такое разбиение 2, что все точки разбиения 1 принадлежат разбиению 2. Разбиение 1 сегмента называется объединением двух, если все точки этих разбиений содержатся в 1 и никаких других точек 1 не содержит. Интегральная сумма – сумма от 1 до n f(Ek)(xK – x(K-1)), где Ek – точка из [x(K-1), xK]. Такие сегменты – частичные сегменты, Ek – промежуточные точки. Максимальная длина частичного сегмента называется диаметром разбиения. Число называется пределом интегральных сумм по Риману при стремлении диаметра разбиения к нулю, если для всякого положительного эпсилон существует дельта, что из условия, что диаметр разбиения меньше дельта, следует, что предел по модулю отличается от интегральной суммы, при любом выборе промежуточных точек, меньше чем на эпсилон. Функция называется интегрируемой по Риману, если для этой функции на данном сегменте существует придел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к 0. Этот предел называется определенным интегралом Римана. Т Если функция не ограничена на сегменте, она на нем не интегрируема (почти очевидно). Функция на всех участках разбиения ограничена  существует точная верхняя и нижняя грани. Верхняя и нижняя сумма Дарбу (пишем определение суммы в качестве Ek выбирая точку, в которой достигалось максимальное (минимальное) значение).

Л1 Любая интегральная сумма меньше либо равна верхней и больше либо равна нижней интегральных сумм (почти очевидно)

Л2 для произвольного разбиения и произвольного положительного числа можно выбрать точки разбиения так, что интегральная сумма будет отличаться от верхней менее чем на это число. Аналогично для нижней (рассматриваем для каждого участка разделив число на длину сегмента, потом суммируем по всем участкам разбиения).

Л3 При измельчении участка разбиения верхняя сумма может только уменьшится, нижняя только увеличится (рассмотреть добавление одной точки)

Л4 Для двух различных разбиений нижняя сумма одного не превосходит верхней второго (через Л3).

Верхним интегралом Дарбу называется точная нижняя грань множества верхних сумм. Нижним аналогично.

Л5 Нижний интеграл всегда меньше либо равен верхнему (От противного, делим разность на 2 и противоречие с предыдущей леммой).

Л6 При добавлении новых точек верхняя сумма меняется менее чем на (M-m)ld, где l – число добавленных точек, d – диаметр старого разбиения (добавление одной точки не ограничивая общности)

Число называется пределом верхних сумм при стремлении диаметра разбиения к 0, если для любого положительного числа 1 можно указать такое положительное число 2, что если диаметр разбиения меньше 2, то верхняя сумма отличается от предела менее чем на 1.

Основная Лемма Дарбу. Верхний интеграл Дарбу является пределом верхних сумм при стремлении диаметра разбиений к нулю, а нижний – нижних (Берем разбиение 1, удовлетворяющее условию d < e/[2l(M-m)], где e > 0, и берем разбиение 2 (в силу определение верхнего интеграла оно есть), верхняя сумма которого отличается от I* менее чем на e/2, рассматриваем их объединение, по Л6 оно отличается от 1 не более чем на e/2, и от I* по Л3 не более чем на e/2).