Билет 5. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Т1 Чтобы на ограниченном сегменте функция была интегрируема необходимо и достаточно, чтобы её верхний и нижний интегралы Дарбу совпадали.

Необходимость: Интеграл – предел, возьмем такой диаметр, что сумма отличается от I не более, чем на e/4, и возьмем по Л2Б4 два расстояния тоже по e/4, запишем разность S-s и увидим, что она меньше e, s <= I_* <=I* <= S и из произвольности e I_*=I*.

Достаточность: По ОЛДБ4 получим что верхняя и нижняя сумма Дарбу начиная с определенного диаметра отличаются от A = I_*=I* менее, чем на e, и в силу неравенства для сумм получим, что функция интегрируема.

Основная Теорема Функция интегрируема на сегменте тогда и только тогда, когда для любого положительного числа найдется такое разбиение, что верхняя и нижняя суммы отличаются менее, чем на это число.

Необходимость: Рассуждения полностью аналогичны док-ву из Т1Б5

Достаточность: Неравенство s <= I_* <=I* <= S.

Билет 6. Классы интегрируемых функций.

Непрерывные функции:

Функция непрерывная на сегменте равномерно непрерывна на нем, выбираем e/(b-a), тогда наибольшее и наименьшее значения на отрезке отличаются не более чем на e/(b-a), проходит оценка сверху на разность верхней и нижней сумм Дарбу и по ОТБ5 получаем.

Ограниченные функции, определенные на сегменте, все точки разрыва которых можно покрыть конечным числом интервалов, имеющих общую сумму длин, меньшую наперед заданного числа:

Для константы верно. Выбираем в качестве суммы длин интервалов e/(2[M-m]), на дополнительных сегментах (не включающий в себя разрывы) функция равномерно непрерывна, так что можем подобрать такое дельта, что на них на всех, разность Mk –mk < e/(2(b-a)), рассматриваем разность верхних и нижних сумм получим, что сумма по всем с точками разрыва меньше половины эпсилон, и по всем дополнительным меньше половины эпсилон.

Монотонные на сегменте:

В качестве диаметра берем e/(f(b) – f(a)) и в силу неубывания наибольшее значение слева – наименьше справа, те останется в разности верхних и нижних сумм в числителе только (f(b) – f(a))*e.

Если функция 1 интегрируема на сегменте, а функция 2 является Липшец функцией на сегменте и определена от минимального до максимального значения первой, то сложная функция 3 (2 от 1) интегрируема на этом сегменте. Липшец функция: сушествует такое C, что |f(x1) – f(x2)| <= C|x1 – x2| для любых точек сегмента.

По ОТБ5 существует такое разбиение, что S – s < e/C. На каждом участке разбиения верно, что разность наибольшего и наименьшего значений 3 отличается не более чем в C раз от соответствующей разности 1 (для произвольных точек преобразовать разности значений), а значит рассмотрев разность верхней и нижней сумм Дарбу для новой функции получим S* - s* = ADD(k=1 – N) (M*k – m*k)dxk <= ADD(k=1 – N) (Mk – mk)dxk= C(S – s) < e

Билет 7. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Формулы среднего значения.

Сумма\разность интегрируемых функций интегрируемы (почти очевидно).

Произведение интегрируемой функции на число – интегрируемая функция.

Произведение интегрируемых функций интегрируемо (квадрат интегрируемой функции по 4 признаку интегрируем)

Из интегрируемости функции на сегменте следует её интегрируемость на любом подсегменте этого сегмента (по ОТБ5).

Соглашения:

$(a,a) = 0, $(a,b)=-$(b,a).

Т $(a,b)f(x)= $(a, c)f(x) + $(c, b)f(x); 1) a < c< b; выбираем такие разбиения, что в правой части разница между верхней и нижней суммой каждой меньше e/2, остальные два случая через этот и предыдущее.

Т если для всех точек сегмента значения функции неотрицательно, то интеграл по этому сегменту неотрицателен (через предельный переход).

Т если для всех точек сегмента значение 1 функции меньше значения 2 функции, то интеграл первой функции меньше интеграла второй функции (через интеграл разности).

Т если функция непрерывна и неотрицательна на сегменте, и хотя бы в одной точке отлична от 0, то интеграл этой функции по этому сегменту больше некоторого положительного числа (через предыдущие теоремы).

Т если функция интегрируема по Риману на сегменте, то интеграл от модуля существует, и больше модуля интеграла (модуль – Липшиц функция, умножим функцию на знак интеграла и из теоремы о неравенстве интегралов). Ф1 Первая формула среднего значения: если функции 1 и 2 интегрируемы на сегменте и 2 сохраняет знак, то существует такое число, большее точной нижней и меньшее точной верхней 1, что интеграл произведения можно заменить произведением этого числа на интеграл 2. Если 1 непрерывна – то это число достигается 1 функцией. (расписываем 1 заключена между своими гранями, домножаем на 2 неравенство, и интегрируем). Если 2 – константная 1, то получим формулу среднего значения.

Ф2 Вторая формула среднего: если функция 1 интегрируема, а функция 2 монотонна, то найдется такая точка, принадлежащая сегменту, на котором мы интегрируем, что:

$(a, b)f(x)g(x)dx = g(a)$(a, e)f(x)dx + g(b)$(e, b)f(x)dx (без доказательства).