МАТАНАЛИЗ 2 семестр

Билет 1. Отыскание точек локального экстремума функции. Достаточные условия экстремума.

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки, тогда она имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если сущ такая окр-ть этой точки, что для всех точек этой окрестности значение в этой точке является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции. Локальный экстремум – локальный максимум или локальный минимум.

Необходимое: если функция дифф-ма в данной точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то f`(c) = 0 (из достаточного условия возрастания (убывания) функции в точке). Точки в которых производная обращается в 0 – стационарные.

Достаточное 1: Если точка стационарна, функция дифф-ма в некоторой её окрестности, и при переходе через неё производная меняет, то в этой точке экстремум, если не меняет, то нет (выбираем точку из окрестности и пишем т Лагранжа f(c) – f(x0) = f`(u)(c – x0)).

Достаточное 2: Если в стационарной точке вторая производная отлична от нуля (свести к предыдущему через рассмотрение знаков первой производной (f’(c) = 0)).

Достаточное 3: Если n>= 1 (нечетно) функция n раз диф-ма в окрестности точки и (n+1) диф-ма в точке, n производных в точке равны 0, а следующая отлична от нуля, то функция имеет в этой точке локальный экстремум (Док-во по индукции. Для 1 предыдущий, для n>=3 рассмотрим знаки n-ой производной в окрестности и распишем первую производную в ряд тейлора в окр-ти с членом в форме Лагранжа и из-за равенства 0 всех производных получим, что производная равна остаточному члену f⁽ⁿ⁾(E)(x-c)^(n-1)/(n-1)! и из того, что x<E<c, и что мы знаем знаки n-ой производной получили знаки1-ой производной в окр-ти).

Билет 2. Направление выпуклости графика функции и точки перегиба. Достаточные условия перегиба.

График функции имеет выпуклость вниз (вверх), если график функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной.

Т Если функция имеет на интервале конечную вторую производную, всюду неотрицательную (неположительную) на этом интервале, то график выпукл вниз (вверх) (произвольная точка – c, Y – её текущее значение, Y – f(c) = f`(c)(x – c), f(x) = f(c) + f’(c)(x-c)/1! + f’’(E)(x-c)^2/2! (в форме Лагранжа), рассмотреть y – Y).

Точка называется точкой перегиба, если существует такая её окрестность, в пределах которой график функции слева и справа от этой точки имеет разные направления выпуклости.

Л1 Пусть производная функции всюду определена и непрерывна на (c, c+u) и выпукла на этом интервале вниз (вверх), то её график всюду в пределах этого интервала лежит не ниже ( не выше) касательной к графику, проведенной в точке (c, f(c)) (рассматриваем п-ть точек из этой окр-ти, сходящуюся к этой точке, рассматриваем п-ть уравнений касательных (ур-я как в предыдущей теореме), которые в силу непрерывности самой функции и её первой производной сойдутся к нашей точке, и используем предельный переход в неравенстве выпуклости (функция выше\ниже касательной)).

Л2 Если производная функции определена и непрерывна в некоторой ок-ти точки и имеет в этой точке перегиб, то в пределах достаточно малой ок-ти этот график слева и справа лежит по разные стороны от касательной к нему в данной точке (Применяем Л1 к двум интервалам)

Необходимое условие: Если функция имеет в точке перегиб и дважды в ней диф-ма, то в ней вторая производная равна 0 (Доказываем, что разность функции и касательной из нашей точки не имеет в нашей точке экстермума Л2, если вторая производная не равна 0, то в точке будем экстремум (3 признак) противоречие).

Достаточное 1: Если вторая производная меняет знак при переходе через точку ( По Т этого билета)

Достаточное 2: Если вторая производная равна 0. а 3 отлична от 0 (по Д2 билета 1 и предыдущей)

Достаточное 3: Если n>= 2 (четно) функция n раз диф-ма в окрестности точки и (n+1) диф-ма в точке, n-1 (со второй) производных в точке равны 0, а следующая отлична от нуля, то функция имеет в этой точке перегиб (Для 2 доказано, надо от 4, раскладываем в ряд Тейлора 2ую производную до n-3 члена, далее аналогично 1ому билету сводим к Д1 билета 2)

Билет 3. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования графика функции.

Прямая x = a называется вертикальной асимптотой, если левый или правый предел при стремлении к a равен бесконечности. Прямая y = kx + b называется наклонной ассимптой, если при стремлении аргумента к бесконечности f(x) = kx + b + a(x), где a(x) принадлежит o(1).

Т Чтобы график функции имел наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы существовало два предела lim<x бесконечности> f(x)/x = k, lim<x бесконечности>[f(x) – kx] = b (необходимость через определение, достаточность практически очевидна)

Схема:

1) Область определения 2) Область значений 3) Точки пересечения с осями 4) Ограниченность 5) Наибольшее, наименьшее значение 6) Четность 7) Точки разрыва 8) Периодичность 9 ) Монотонность 10) экстремумы 11) Выпуклость, точки перегиба 12) Асимптоты