- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Пермский национальный исследовательский политехнический университет
- •Дисциплина «Механика жидкости и газа» Отчет о решении задачи №1
- •Задание
- •Введение
- •1. Физическая модель
- •2. Математическая модель
- •3. Общее решение
- •4. Анализ достоверности решения
2. Математическая модель
В качестве математической принимается уравнение движения Навье-Стокса:
(2)
в котором:
- ускорение от массовых сил;
- градиент давления;
- оператор Гамильтона, представляющий из себя Набла-функцию вида:
; (3)
- оператор Лапласа, скалярное произведение оператора самого на себя:
(4)
Уравнение движения Эйлера (сумма локальной и субстанциональной производной):
(5)
3. Общее решение
Согласно описанной математической модели, для определения ускорения необходимо более тщательно изучить уравнение (2), для этого нужно расписать его для отдельных осей:
(6)
Так как течение стационарное, считается, что локальная производная , также нужно учесть, что для несжимаемой жидкости дивергенция скорости равна нулю, изменение давления по горизонтали равно нулю, так как присутствуют внешние силы, сдвигающие пластину, помимо этого можно считать, что горизонтальная составляющая массовой силы пренебрежимо мала по сравнению с силой тяжести. Учитывая введенные ограничения, получается:
(7)
Упростим выражение (8) с учетом формул (7):
(8)
(9)
С помощью формулы градиента скалярного произведения, левая часть уравнения (8) преобразуется и приобретает следующий вид:
(10)
Тогда, подставляя выражение (10) в уравнение (9) получаем:
(11)
Уравнение (11) – уравнение Громеки-Лэмба.
Для получения адекватного решения задачи, отличного от нуля, необходимо ввести корректирующие условия, а именно, при течении чистого сдвига имеет место качение частиц жидкости, т.е. они перекатываются относительно друг друга. Поэтому каждая частица имеет некоторую угловую скорость, а вследствие этого центробежное и центростремительное ускорение.
3.1. Вспомогательная задача
Описать поле скоростей между пластинами.
3.1.1. Вспомогательная математическая модель
(12)
3.1.2. Решение вспомогательной задачи
(13)
(14)
Подставляя найденный параметр из выражения (14) в выражение (12) получается:
(15)
Вывод
Описание поле скоростей найдено и имеет вид:
Возвращаясь к основной задаче отметим, что с учетом физической модели, при которой и вектор скорости имеет вид:
(16)
С помощью получившегося вектора скорости (16) можно раскрыть векторные произведения, стоящие в правой части выражения (11)
(17)
(18)
Таким образом, с учетом уравнения (11) и физической модели, поворотное (центростремительное) ускорение:
(19)
градиентное (центробежное) ускорение:
(20)
4. Анализ достоверности решения
П
Рис.
2. Ускорения при чистом сдвиге
В
Рис. 3. Схема
волнообразного течения жидкости
Н
Рис. 4. Возникновение
турбулентного пятна
Стремясь под действием сил инерции в область нижней стенки, верхняя частица стремится вытеснить нижнюю в область верхней стенки. В результате вся масса закрутится по часовой стрелке. В силу известных теорем о циркуляции, это должно привести к тому, что в жидкости должно появиться пятно, вращающееся против часовой стрелки. Вероятно, это произойдёт в области верхней стенки, где имеют место наибольшие значения сил инерции.
Если силы инерции в течении будут достаточно велики, волнообразное течение может стать турбулентным. При определённом соотношении сил инерции и сил вязкости, нарушения волнообразной структуры течения не происходит. Необходимо определить это соотношение:
(21)
(22)
(23)
Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит приблизительно при
Так как изменение режима течения происходит постепенно, справедлива следующая схема изменения характера течения:
П
Рис. 5. Схема
изменения характера течения по
горизонтали: 1 – ламинарный поток, 2 –
течение с волнами, 3 – турбулентные
пятна, 4 – турбулентный поток.
Re при отсчёте от верхней стенки:
(24)
Re при отсчёте от нижней стенки:
(25)
Приравнивая правые части уравнений (24) и (25) получается:
(26)
(27)
(28)
С
Рис. 6. Приблизительный
характер зависимости Re от y
К
Рис. 7. Изменение
скорости в зависимости от высоты канала
(29)
Путем подстановки данных в формулу (23), находится результат:
(30)
Зависимость скорости течения от высоты канала выражается формулой:
(31)
где n – степень отношения высоты канала к толщине пограничного слоя.
Полученный результат адекватен и сопоставим с реальными значениями, поэтому, задача решена верно.
Вывод
Таким образом, была построена и описана физическая модель, произведены расчеты, в результате которых были найдены ускорения при чистом сдвиге, найдено поле скоростей, проанализировано решение. С помощью анализа решения удалось определить точку в течении с максимальным числом Рейнольдса и найти область применимости данной задачи.