Задача 8 (4.3.1)
Докажите, что собственные функции оператора Гамильтона из задачи 1 (2.3.1) (частица в прямоугольной потенциальной «яме» со «стенками» бесконечной высоты) обладают свойством (4.3.13)
< uEm | uEn >≡< um | un >= 0; m ≠ n. |
(4.3.13) |
1. Нормированная пространственная часть волновой функции микрочастицы, вычисленная в задаче 3,
|
0, |
|
|
−∞ < |
|
|
2 |
πn |
|
uEn |
|
|||
(x) ≡ un (x) = |
L |
sin |
x , 0 ≤ |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
L < |
|
0, |
|
|
x < 0;
x ≤ L; |
n = 1, 2, ... (1) |
x < ∞.
и есть собственная функция оператора Гамильтона микрочастицы из данной задачи.
2. Вычислим скалярное произведение (4.3.13) функций (1), как требует определение (4.1.5), учитывая, что эти функции действительны:
|
2 L |
πm |
|
πn |
|
|
||||
< um | un >= |
|
|
sin |
|
x sin |
|
x dx . |
(2) |
||
L ∫ |
L |
L |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
95
Преобразуем подынтегральное выражение (2), используя известную из тригонометрии формулу
sinα sinβ = 12 [cos(α – β) – cos(α + β)].
При этом выражение (2) распадётся на два слагаемых. Первое из них:
1 |
L |
|
|
π(m −n) |
|
1 |
|
π(m − n) |
|
|
L |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
∫cos |
|
|
x dx = |
|
sin |
|
x |
|
|
||||
L |
L |
|
π(m −n) |
L |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
= |
|
|
1 |
sin[π(m −n)]= 0. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
π(m −n) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким же образом покажем, что и второе слагаемое в правой части
(2) равно нулю.
Итак, равенство (4.3.13) доказано: собственные функции uEm (x) и uEn (x) оператора Гамильтона из задачи 1,
принадлежащие разным собственным значениям этого оператора, т.е. уровням энергии Em и En , ортогональны.
Задача 10 (4.4.7)
Докажите, что среднее значение динамической переменной F,
которую представляет оператор Fˆ , в состоянии микросистемы,
96
описываемой волновой функцией ψ(t,q), в случае дискретного спектра собственных значений можно вычислить по формуле
|
ˆ |
ˆ |
(4.4.7) |
|
|||
F(t) = ∫ψ *(t, q)Fψ (t, q)dq ≡<ψ | F |ψ >. |
|||
Решение
1. Разложим функции в подынтегральном выражении (4.4.7) в
ряды (4.3.22), (4.4.5)
ψ(t, q) = ∑cnψ F (t, q) , |
|
|
(4.3.22) |
|||
n≥1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ψ *(t, q) = ∑cm *ψF *(t, q) . |
(4.4.5) |
|||||
m≥1 |
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
Воспользуемся тем, что оператор |
ˆ |
, |
воздействуя |
на свою |
||
F |
||||||
собственную функцию ψF |
|
(t, q), |
даёт |
ту же |
функцию, |
|
n |
|
|
|
|
|
|
помноженную на собственное значение Fn , |
|
|
|
|||
ˆ |
=Fn ψF |
, |
|
|
|
|
F ψF |
|
|
|
|||
n |
|
n |
|
|
|
|
а на константы он, разумеется, не действует. Получим:
97
ˆ |
ˆ |
= |
∑cn Fnψ F |
; |
|
|
|
Fψ = F ∑cnψF |
|
|
|||||
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n≥1 |
|
n≥1 |
|
|
|
|
ψ * Fψ = ∑cmψ F |
∑cn Fnψ F |
|
= ∑∑cmcn Fnψ F (t, q)ψ F (t, q). |
||||
ˆ |
* |
* |
n |
* |
* |
n |
|
|
m≥1 |
m |
m≥1n≥1 |
m |
|||
|
|
n≥1 |
|
|
|
||
2. Проинтегрируем полученное выражение, как в (4.4.7). При этом поменяем порядок суммирования и интегрирования, а за знак интеграла вынесем константы:
F(t) = ∑∑cm* cn Fn ∫ψ F*m (t, q)ψ Fn (t, q)dq =
m≥1n≥1
= ∑∑cm* cn Fn <ψ F |
|ψ F > |
(1) |
m |
n |
|
m≥1n≥1 |
|
|
—см. обозначение скалярного произведения функций (4.1.5).
Атеперь воспользуемся условием ортонормированности системы собственных функций самосопряжённого оператора, обладающего дискретным спектром собственных значений:
<ψF |
|ψF >=δm,n , |
(4.3.21) |
m |
n |
|
где δm,n — символ Кронеккера (4.3.16). Вычисляя двойную сумму в правой части (1), замечаем, что все слагаемые с индексами m ≠ n
обращаются в 0, и в сумме остаются только слагаемые с m = n:
98
|
(t) = ∑cn*cn Fn =∑ |
|
cn |
|
2 Fn . |
(2) |
|
F |
|
|
|||||
|
n≥1 |
n≥1 |
|
|
|
||
3. Но в соответствии с (4.4.2) квадрат модуля коэффициента разложения волновой функции ψ(t,q) в обобщённый ряд Фурье по
собственным функциям оператора ˆ (4.3.22) есть вероятность того,
F
что значение динамической переменной F, которую представляет
ˆ
оператор F , в состоянии микросистемы, описываемом этой волновой функцией:
c |
n |
|
2 = w , |
(3) |
|
||||
|
|
n |
|
причём, как показано в п/п. 4.4.1 (см. решение задачи 9), распределение этой вероятности нормировано на 1.
Записывая (2) с учётом (3), получаем равенство (4.4.6)
F(t) = ∑wn Fn ,
n≥1
которое означает, что его левая часть — она же левая часть равенства (4.4.7) — есть математическое ожидание случайной величины Fn , т.е. среднее значение динамической переменной F в
состоянии микросистемы ψ(t,q). Именно это и требовалось доказать.
99