Задача 2 (2.3.2)

Микрочастица в прямоугольной потенциальной «яме» со «стенками» бесконечной и конечной «высоты»

Решение

1. Как и в задаче 1, в область пространства, где потенциальная энергия бесконечна, частица попасть не может, поскольку оттуда её как бы выталкивает сила бесконечной величины. Следовательно, вероятность пребывания частицы в этой области пространства тождественно равна нулю. Поэтому при −∞ < x < 0

2. В области 0 ≤ x ≤ L потенциальная энергия частицы равна константе Φ0 (это значит, что здесь сила на частицу не действует,

то есть в рассматриваемой области пространства частица свободна

24

всюду, кроме границ «ямы»), и стационарное уравнение Шрёдингера, как и в задаче 1, имеет вид

3. В области L < x < ∞, как и в 0 ≤ x ≤ L , частица свободна, однако потенциальная энергия частицы равна другой константе Φ1 ,

и стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид, несколько отличный от (2):

рассматриваемом поле сил невозможны (реализуются только состояния рассеяния, т.е. в терминах классической механики имеет место инфинитное движение частицы), то в соответствии с условием задачи E <Φ1. В справедливости данного утверждения мы убедимся, решив эту задачу.

В зависимости от того, в каком соотношении находятся E и Φ0 ,

возможны три варианта решения уравнения (2). Однако в условиях данной задачи, как в задаче 1, случаям E =Φ0 и E <Φ0 отвечают только тривиальные решения, т.е. состояния частицы с такими

25

энергиями не реализуются. (Студентам предлагается это проверить

самостоятельно).

Поэтому далее решение задачи выполняется для значений энергии, лежащих в диапазоне

Φ0 < E <Φ1.

Обозначив

представим уравнение (2) в виде

Выберем для определённости положительное значение действительной величины k:

Общее решение дифференциального уравнения (5):

26

где C1 и C2 — произвольные постоянные.

Обозначим, далее,

(κ — греческая «каппа»; κ ≠ k!), и представим уравнение (3) в виде

Выберем для определённости положительное значение действительной величины κ:

Общее решение дифференциального уравнения (8):

где D1 и D2 — произвольные постоянные.

4. Далее определим фигурирующие в (6) и (9) произвольные постоянные.

Поскольку волновая функция в любой точке пространства должна быть непрерывной функцией своего аргумента —

27

пространственной координаты, то с учётом (1) на левой границе интервала 0 ≤ x ≤ L функция (6) должна обращаться в нуль:

Подставив (6) в (10), получим соотношение

C1 0 +C2 1 = 0 ,

из которого следует, что C2 = 0. Произвольная постоянная C1

может иметь любое значение, отличное от нуля — в противном случае решение уравнения окажется тривиальным.

Таким образом, вместо (6) с учётом (10) получим:

(индекс оставшейся произвольной постоянной C1 ликвидирован за ненадобностью).

Обратившись к интервалу L < x < ∞, обратим внимание, что первое слагаемое решения (9) неограниченно возрастает при приближении к правому краю этого интервала. Поскольку волновая функция должна быть конечной (а также непрерывной и однозначной) при любых значениях своих аргументов, то произвольную постоянную D1 в (9) следует положить равной нулю и таким способом «уничтожить» недопустимое частное решение.

28

Второе же слагаемое (9) в этом пределе не только конечно, но обращается в нуль, так что D2 ≠ 0.

В результате вместо (9) получим

(индекс у оставшейся произвольной постоянной D2 также ликвидирован за ненадобностью).

Хотя искомая волновая функция, состоящая из трёх «кусков» (1), (11), (12), ещё содержит две произвольные постоянные C и D, видно, что она уже удовлетворяет краевым условиям

которые обеспечивают связанное состояние частицы с источником поля (центром силы). В самом деле: условия (13) означают, что обнаружить частицу вдали от удерживающего её центра силы тем менее вероятно, чем она дальше от него.

5. Волновая функция должна быть всюду непрерывной. Кроме того, непрерывной, вообще говоря, должна быть и производная от волновой функции по координатам (координате). Исключением является лишь ситуация, когда в некоторой точке потенциальная энергия скачком обращается в бесконечность. В этой точке волновая функция остаётся непрерывной и, следовательно, равной

29

нулю, т.к. частица не может попасть в область пространства, где её потенциальная энергия бесконечна. Однако производная от волновой функции может в такой точке измениться скачком от конечного значения до нуля. Рассматриваемая ситуация имеет место в данной задаче на левой границе «потенциальной ямы» x = 0

—см. (10). То же самое происходит с волновой функцией частицы

взадаче 1 на обеих границах «ямы».

На правой границе x = L «ямы», рассматриваемой в данной задаче, потенциальная энергия частицы претерпевает конечный разрыв Φ1 −Φ0 . Поэтому в этой точке должны быть непрерывными как волновая функция, так и производная от неё по координате:

Соотношения (14) должны использоваться с целью «сшивки» двух «кусков» волновой функции (11), (12), т.е. подбора таких значений произвольных постоянных C и D, чтобы выполнились условия непрерывности искомой волновой функции u(x) и её производной u′(x) в точке x = L (14).

Подставив (11) и (12) в (14), получим два линейных однородных алгебраических уравнения относительно неизвестных C и D:

Csin(kL) − Dexp(−κL) = 0;

30

Для удобства введём вместо размерных величин k и κ безразмерные

и перепишем систему (15), используя обозначения (16):

Нетривиальные решения системы уравнений (17) существуют, если её определитель равен нулю:

Раскрывая определитель (18), получим следующее соотношение:

Поскольку Φ0 < E < Φ1, то величина η (16) ограничена значениями 0 < η < r, где

31

условию (18) удовлетворить невозможно, и у системы уравнений

(17)нет нетривиальных решений.

7.Если пара значений (ξ,η) — решение уравнений (21), (22), то, как следует из (21), два уравнения относительно констант C и D

(17)становятся тождественными. Действительно: выразим, например, из (21)

sin(ξ) = −η1 ξcos(ξ) ,

подставим это выражение в первое уравнение (17) и умножим полученное равенство на −η . В результате получится второе уравнение (17). Это вполне естественно, т.к. условие (18) как раз и означает, что уравнения линейно зависимы.

Из первого уравнения (17) выразим D через C:

Подставляя (23) в (12), с учётом (1), (11) получим формулу для подсчёта волновой функции частицы:

33

Постоянная C в (24) остаётся, разумеется, произвольной. В дальнейшем, если необходимо, её можно определить из условия нормировки.

Соответствующую (24) энергию частицы подсчитаем, используя формулы (4), (16):

8. Понятно, что решить систему (21), (22) аналитически невозможно. Её численное решение требует задания конкретных значений параметров задачи (массы частицы, глубины и ширины потенциальной «ямы»), что не входит в наши планы. Можно, однако, качественно проанализировать характер решений при различных сочетаниях значений параметров, используя графоаналитический подход. Этим и займёмся.

Для удобства графического построения и последующего анализа разрешим трансцендентное уравнение (21) относительно неизвестной η, для чего разделим обе его части на sin(ξ) . Получим

34

Рассмотренная операция возможна, только если sin(ξ) ≠ 0 , т.е.

Функция (26) равна –1 при ξ = 0 (проверьте!) и обращается в нуль при

В точках

функция (26) терпит разрывы, обращаясь в +∞ при приближении к каждой точке (29) слева и в –∞ при приближении к этой точке справа.

Значения ξ и η, являющиеся решениями системы (22), (26), графически изображаются координатами точек пересечения графика функции (26) с окружностью радиуса r, уравнение которой даёт соотношение (22). Поскольку по определению величины ξ и η неотрицательны, представляют интерес только те точки пересечения, которые расположены в первом квадранте плоскости

(ξ, η).

35

Φ0 < E <Φ1.

Таким образом, энергия микрочастицы в условиях данной задачи а) всегда больше Φ0 : микрочастица, находящаяся в связанном

состоянии, с классической точки зрения не может неподвижно «лежать» на «дне ямы», потому что даже в состоянии с минимально возможной энергией её кинетическая энергия отлична от нуля (это

— уже знакомый нам эффект «нулевых колебаний); б) всегда меньше Φ1 , т.е. связанных состояний микрочастицы

при E ≥Φ1 не существует: в этой области значений энергии возможны только состояния рассеяния.

9. В зависимости от значения r (20) возможны следующие варианты.

1) 0 < r <π / 2 : функция (26) и окружность (22) не имеют точек пересечения, так что нетривиальных решений системы уравнений

(17) нет.

Это означает, что при тех сочетаниях значений параметров задачи, которые соответствуют указанному интервалу значений r, у задачи имеется только тривиальное решение u(x) = 0 , т.е.

связанное состояние микрочастицы с заданным полем силы невозможно: слишком лёгкая частица, либо слишком «мелкая» «яма», либо слишком «узкая».

37

2) π / 2 ≤ r < 3π / 2 : функция (26) и окружность (22) пересекаются в одной точке, абсцисса которой находится в интервале значений

а ордината равна

Это — единственное нетривиальное решение задачи для данного сочетания её параметров. Волновую функцию u1(1) (x) ,

описывающую данное единственное связанное состояние микрочастицы с источником поля, а также соответствующий энергетический уровень E1(1) подсчитаем по формулам (24), (25) для данных значений ξ1(1) и η1(1) .

Вследствие (30) функция u1(1) (x) в интервале значений координаты x между L/2 и L имеет один максимум при x1(,1m) = (π / 2ξ1(1) )L , а при x > L экспоненциально быстро убывает до нуля.

Пусть теперь r =π / 2 . При этом ξ1(1) = r =π / 2 и E1(1) =Φ1, т.е. энергия частицы принимает граничное значение между связанными состояниями частицы и состояниями рассеяния. Максимума

38

не убывает, а остаётся постоянной и равной C. Таким образом, рассматриваемое «граничное» состояние частицы является несвязанным.

пересекаются в nmax ≥1 точках, абсциссы которых находятся в интервалах значений

Для данного сочетания параметров задачи имеется nmax

нетривиальных решений, нумеруемых числом n. Волновую функцию un(nmax ) (x) , описывающую n–е связанное состояние микрочастицы с источником поля, а также соответствующий энергетический уровень En(nmax ) подсчитаем по формулам (24), (25)

для данных значений ξn(nmax ) и ηn(nmax ) .

39

энергии, при котором ещё возможно связанное состояние частицы с

чередующихся экстремумов (максимумов и минимумов) и n – 1 корней (нулей), не считая корня при x = 0.

микрочастицы становится равным nmax −1.

10. В дополнение к тем квантовым эффектам поведения микрочастицы, находящейся в связанных состояниях, которые демонстрирует решение задачи 1, в данной задаче обнаруживается ещё один. Поскольку при x > L и E <Φ1 волновая функция частицы un (x) отлична от нуля, то конечна и вероятность обнаружить частицу в данной области пространства. Но с точки зрения классической физики эта область пространства является для частицы совершенно недоступной, поскольку кинетическая энергия

40

частицы K = E −Φ1 оказалась бы здесь отрицательной, а импульс и скорость — мнимыми! Этот факт, разумеется, является наблюдаемым и характерен для поведения реальных микрочастиц. Однако найти ему «разумное» объяснение, не совершая логического круга (т.е. не пытаясь объяснить один квантовый эффект через другой, столь же необъяснимый), невозможно.

11. При r >>1

ξn(nmax ) → nπ ; n = 1, 2,..., nmax ,

а nmax → ∞. Рассматриваемый предел, в частности, соответствует неограниченному увеличению глубины потенциальной «ямы» Φ1 −Φ0 при сохранении величин других параметров задачи

(ширины «ямы», массы частицы). Очевидно, при этом решение данной задачи должно перейти в решение задачи 1.

В самом деле, как видно из (24), при этом

Одновременно из (25) следует, что

41

En →Φ0 + π 2h2 n2 . 2mL2

12. В том же пределе r → ∞ квантовые эффекты в поведении частицы становятся несущественными, и оказывается возможным его классическое описание, как показано в решении задачи 1.

Можно отметить, что рассматриваемый предел, как видно из (20), соответствует неравенству

Если величину в знаменателе левой части этого неравенства считать оценкой порядка величины импульса p микрочастицы в

«яме», то сама левая часть с точностью до множителя 2π соответствует оценке длины волны де Бройля частицы λ = 2πh/ p.

При этом обсуждаемое неравенство приобретёт вид стандартного условия применимости классической механики для описания динамического поведения микрочастицы, которая находится в пространственной области с характерным размером L : λ << L .

Учащимся предлагается самостоятельно построить графики нескольких первых волновых функций и соответствующих плотностей вероятности, а также проанализировать поведение кванта энергии при увеличении (уменьшении) значения квантового числа n.

42