Задача 4 (2.3.4)

Микрочастица в трёхмерной потенциальной «яме» со «стенками» бесконечной высоты

Вычислите волновые функции и энергетические уровни микрочастицы массы m, находящейся в стационарных связанных состояниях в следующем поле:

Φ(x, y, z) =Φ0 , если 0 ≤ x ≤ Lx ; 0 ≤ y ≤ Ly ; 0 ≤ z ≤ Lz ;

Φ(x, y, z) = ∞ вне указанного параллелепипеда.

Указание: воспользоваться результатами решения аналогичной одномерной задачи (задача 1).

Решение

1. Внутри «ямы» частица свободна, т.к. никакая сила на неё не действует. Вне «ящика» потенциальная энергия частицы бесконечна, поскольку при приближении к стенкам на неё действует бесконечная сила отталкивания, нормальная к стенке. Поэтому стенки «ямы» непроницаемы для частицы, какова бы ни была её кинетическая энергия. Таким образом, от столкновения со стенкой до следующего столкновения частица движется с постоянной по модулю скоростью v = v = 2(E −Φ0 ) / m .

69

Траектория движения классической частицы в аналогичной одномерной задаче очень проста: частица осуществляет периодическое колебательное движение в пределах 0 ≤ x ≤ Lx .

Уже в двумерном случае, 0 ≤ x ≤ Lx ; 0 ≤ y ≤ Ly , картина

движения частицы становится гораздо более сложной, даже если предположить, что имеет место простейший характер отражения частицы от стенки «ящика» — зеркальный: проекция скорости падения частицы на стенку, параллельная стенке, сохраняется, а проекция скорости, нормальная стенке, как и в одномерном случае, меняет знак на противоположный, оставаясь неизменной по модулю. «Большинство» начальных условий приводит к непериодическому движению частицы по незамкнутым ломаным траекториям, отрезки которых никогда не повторяются. Некоторые начальные условия соответствуют периодическому движению по замкнутым траекториям — например, если начальная скорость частицы нормальна стенке «ящика». Особые случаи можно назвать «патологическими»: например, если начальная скорость направлена строго в угол «ящика», то законы механики не позволяют в условиях данной задачи установить, как будет двигаться частица – материальная точка после попадания в этот угол. Картина движения частицы окажется намного более сложной, если стенки ящика не являются идеально гладкими.

В трёхмерном случае движение частицы становится настолько сложным, что после нескольких столкновений со стенками «ящика» (даже идеально гладкими) уже практически невозможно проследить влияние начальных условий на траекторию. Движение

70

подобного рода можно с полным основанием охарактеризовать термином «хаос» и применять для его количественного описания такие статистические величины и понятия, как «вероятность нахождения частицы в выбранном элементе объёма», «случайное блуждание» и т.п.

Сложность динамического поведения механических систем «катастрофически» возрастает по мере увеличения числа степеней свободы, и именно с целью адекватного описания такого поведения сравнительно недавно сформировалась такая научная область, как «хаотическая динамика».

Вместе с тем примечательно, что квантовая механика оперирует при описании микрообъектов как раз подобными терминами, а понятие траектории в её формализме с самого начала исключается из рассмотрения. (Заметим, что основанная Р. Файнманом ветвь квантовой механики, которая использует формализм так называемых «интегралов по траекториям», является лишь развитием вычислительного аппарата для решения некоторых специфических квантовых задач и не подвергает ревизии её идейные основы). Иллюстрацией может служить решение предлагаемой здесь квантовой задачи, которое, в отличие от классической, весьма просто.

2. Стационарное уравнение Шрёдингера внутри «ящика» имеет

вид

71

где u(x,y,z) — стационарная волновая функция частицы, а — оператор Лапласа в декартовых координатах. Вне «ящика» вероятность обнаружить частицу равна нулю, так что u ≡ 0. Тогда из условия непрерывности волновой функции следует, что и на внутренних границах «ящика» u = 0.

Уравнение будем решать методом разделения переменных, представив волновую функцию в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

u(x, y, z) = X (x)Y ( y)Z (z) .

Подставив это произведение в уравнение и проведя некоторые преобразования, получим:

Первое слагаемое в левой части полученного равенства зависит только от x, второе — только от y, третье — только от z. Поскольку, однако, x,y,z — независимые переменные, каждое из этих слагаемых должно равняться константе. В самом деле: пусть рассматриваемое равенство выполняется для некоторых x,y,z.

72

Изменим, например, значение x. Если первое слагаемое зависит от x, то оно изменится, а два других останутся неизменными, и равенство нарушится. Но равенство должно выполняться для любых значений переменных x,y,z. Таким образом, полученное уравнение превращается в три обыкновенных дифференциальных уравнения — каждое для одной из новых неизвестных функций:

3.Первое из этих уравнений идентично решавшемуся в задаче

1.Граничные условия для его решения те же, что и в этой задаче:

X (0) = X (Lx ) = 0 .

Нетривиальные решения рассматриваемого уравнения имеются при условии, что kx — неотрицательная величина, которая принимает дискретный набор значений:

Эти решения имеют следующий вид:

73

Xnx (x) = Cx sin πnx x .

Lx

Совершенно аналогично решаются и два остальных уравнения.

4. Перемножая найденные функции, окончательно получим соотношение для подсчёта стационарной волновой функции частицы:

где целые числа nx , ny , nz независимо друг от друга могут

принимать любые положительные значения 1, 2, ...

Мы видим, что для нумерации связанных состояний частицы с тремя степенями свободы требуются три квантовых числа: по одному на каждую степень свободы. Это правило распространяется на микросистемы с любым числом степеней свободы.

Нормировочный множитель волновой функции вычислим, приравняв единице интеграл от её квадрата по всем трём переменным:

74

Каждый из трёх интегралов вычисляется, как в задаче 1. В результате получаем:

Суммируя квадраты величин kx ,ky ,kz , подсчитаем

энергетические уровни частицы:

5. Для «ящика» с произвольным соотношением размеров рёбер различные тройки квантовых чисел nx , ny ,nz определяют как разные состояния частицы, отличающиеся волновыми функциями, так и разные уровни энергии. Однако если параллелепипед имеет определённые элементы симметрии, то разным наборам квантовых чисел nx , ny ,nz могут соответствовать одинаковые уровни энергии,

при том, что волновые функции для каждого из этих наборов по– прежнему будут разными. Такое явление называется вырождением энергетических уровней, а число различных состояний микросистемы, в которых её энергия одна и та же (т.е. число различных волновых функций, «принадлежащих» одному и тому же уровню энергии), есть степень вырождения (кратность вырождения, статистический вес) этого уровня энергии.

75