Задача 3 (2.3.3)

Гармонический осциллятор

Вычислить волновые функции и энергетические уровни микрочастицы массы m с одной степенью свободы, находящейся в стационарных связанных состояниях в поле силы

Φ(x) =Φ0 + 12 ax2 .

Решение

1. Сила, действующая на частицу,

Fx = − ddxΦ = −ax ,

пропорциональна смещению x частицы относительно положения равновесия x = 0 и направлена противоположно этому смещению. Это — возвращающая сила, подобная силе пружины при её сжатии

– растяжении в условиях, когда деформация является упругой (a — упругая постоянная пружины). В природе подобные силы возникают при малых смещениях (деформациях). Если последние достаточно велики, то зависимость от них возвращающей силы становится нелинейной.

43

Исследуем движение частицы под действием рассматриваемой силы в условиях, когда её поведение подчиняется законам

классической механики.

Уравнение движения частицы (второй закон Ньютона)

имеет вид линейного дифференциального уравнения второго порядка по времени

&x&≡ d 22x = − a x ≡ −ω2 x , dt m

где введено обозначение

ω = ma .

Легко проверить, что величина ω имеет размерность [ω] = c–1. Общее решение этого уравнения:

x(t) = C1 sin(ωt) +C2 cos(ωt) = Asin(ωt +δ) .

Ясно, что характер движения частицы — это гармоническое колебание (осцилляция) с круговой частотой ω или линейной

44

частотой ν = ω /2π. Поэтому рассматриваемую механическую систему принято называть гармоническим осциллятором.

Произвольные постоянные C1 и C2 связаны с амплитудой A и фазой

δ колебания соотношениями

Значения произвольных постоянных определяются начальными условиями — положением x(t0 ) = x0 и скоростью x&(t0 ) = x&0 частицы в начальный момент времени t0 .

Скорость частицы

x&(t) = ω[C1 cos(ωt) −C2 sin(ωt)]

тоже зависит от времени по гармоническому закону. Вычислим энергию частицы. Кинетическая энергия:

K(t) = 12 m[x&(t)]2 = 12 mω2[C12 cos2 (ωt) +C22 sin2 (ωt) − −2C1C2 sin(ωt) cos(ωt)].

Потенциальная энергия:

Φ(t) =Φ0 + 12 mω2[x(t)]2 =

45

=Φ0 + 12 mω2[C12 sin2 (ωt) +C22 cos2 (ωt) + 2C1C2 sin(ωt) cos(ωt)].

Складывая эти две функции, получим константу:

E = K(t) +Φ(t) =Φ0 + 12 mω2 (C12 +C22 )=Φ0 + 12 mω2 A2 =Φ0 + 12 aA2 .

Таким образом, мы видим, что энергия частицы является интегралом движения (что, разумеется, следует из того факта, что потенциальная энергия явно не зависит от времени — а неявно, т.е. через зависимость от координаты, разумеется, зависит!) и пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, а также упругой постоянной. Очевидно, что как амплитуда колебаний может быть любой величиной, A ≥ 0, так и энергия частицы может принимать любые значения, не меньшие Φ0 . При данной энергии

Колебания частицы происходят в интервале координат, ограниченном классическими точками поворота, в которых кинетическая энергия частицы обращается в нуль:

− A ≤ x ≤ A.

46

За пределы этой области координат классическая частица попасть не может, т.к. в противном случае её кинетическая энергия оказалась бы отрицательной, а скорость — мнимой, что абсурдно.

2. Переходим к решению задачи о стационарных квантовых состояниях гармонического осциллятора. Надо, однако, отметить, что если такое «наукообразное» название адекватно отражает классическое поведение частицы в поле линейной (упругой) возвращающей силы, то с точки зрения квантовой механики оно неуместно: квантовое стационарное состояние микросистемы не описывает никакого движения (т.е. изменения динамических характеристик системы во времени), в том числе и гармонического колебания микрочастицы.

Стационарное уравнение Шрёдингера

− h2 d 2u + 1 mω2 x2u = (E −Φ0 )u 2m dx2 2

содержит четыре размерные константы: постоянную Планка, массу, классическую частоту колебаний и энергию частицы. Если, однако, вместо размерной координаты x с помощью некоторого масштаба x* ввести безразмерную переменную

ξ = x / x *

47

и выбрать этот масштаб надлежащим образом, то можно добиться существенного уменьшения количества входящих в уравнение параметров.

Подставив в уравнение вместо переменной x произведение x *ξ и выполнив простые преобразования, получим:

Поскольку уравнение однородно, размерность волновой функции не имеет значения: если ввести соответствующий «обезразмеривающий» волновую функцию множитель, то он сократится. Комплексы размерных величин, фигурирующие в полученном уравнении, очевидно, безразмерны.

Масштаб x* можно выбрать произвольно. Выберем его так, чтобы комплекс во втором члене левой части уравнения оказался равным единице:

m2ω2 (x*)4 =

h2 1.

Разумеется, вместо единицы можно было взять любое другое число

— например, 12345 или π. Сделанный выбор, однако, является оптимальным в том смысле, что уравнение при этом будет выглядеть наиболее просто. Полученный в результате такого выбора пространственный масштаб задачи

48

d 2u = (ξ2 −ε)u . dξ2

3. Данное уравнение не решается в элементарных функциях. Однако важно сразу выяснить, каково асимптотическое поведение решения u(ξ) при ξ → ∞, т.е. какова в этих условиях функция u(∞) (ξ) , такая, что

u(ξ) →u(∞) (ξ) .

ξ →∞

Поскольку, очевидно, состояния частицы в заданном поле сил — связанные, то в рассматриваемом пределе и сама функция u(ξ) , и

её асимптотика u(∞) (ξ) должны быстро обращаться в нуль.

Уравнение относительно u(∞) (ξ) имеет вид

d 2u(2∞) = ξ2u(∞) .

dξ

Будем искать решение рассматриваемого уравнения при ξ → ∞

в виде

u(∞) (ξ) = Cξs exp(αξ2 ) ,

50

где s и α — некоторые числа. Запишем первую производную этой функции:

При ξ → ∞ первое слагаемое в скобках пренебрежимо мало по сравнению со вторым, так что

du(∞) = 2αξu(∞) .

dξ

Теперь вычислим производную от этого выражения:

d 2u(∞) = [(s +1)2α + 4α2ξ2 ]u(∞)

dξ2

Первое слагаемое в квадратных скобках — конечное число, и, следовательно, им можно пренебречь по сравнению со вторым слагаемым, которое при ξ → ∞ неограниченно велико.

Следовательно,

d 2u(∞) = 4α2ξ2u(∞) .

dξ2

51

В скобках правой части рассматриваемого уравнения также можно пренебречь конечным числом ε по сравнению с ξ2 . Тогда правая и левая части уравнения окажутся равными при условии, что

4α2 =1,

и, следовательно, α = ±1/ 2.

Итак, у рассматриваемого уравнения в пределе ξ → ∞ имеется два частных решения с α = +1/ 2 и α = −1/ 2, а общее решение является линейной комбинацией частных. Но первое из указанных частных решений неограниченно возрастает при ξ → ∞, и из условия конечности волновой функции соответствующую произвольную постоянную следует положить равной нулю. Таким образом, асимптотика искомой волновой функции имеет вид

u(∞) (ξ) = Cξs exp(−ξ2 / 2) ,

где s — любое число. Независимо от его величины, полученная функция быстро обращается в нуль при ξ → ∞ и тем самым отвечает требованию, которое предъявляется к волновой функции, описывающей связанное состояние микрочастицы.

4. Найденная асимптотика искомой функции u(ξ) наводит на мысль, что точное решение рассматриваемого уравнения имеет вид

52

(Осторожные выражения «попробуем», «попытаться» и т.п. означают, что методом разложения в ряд вовсе не обязательно удастся решить любое дифференциальное уравнение. Любознательные студенты могут, например, попробовать — или попытаться — решить этим методом исходное уравнение. Полезно убедиться, что ничего хорошего из этого не выйдет!)

Подставив в уравнение ряд, вычислим отдельные слагаемые левой части уравнения.

∞

(ε −1)h = (ε −1)∑ciξi ;

Как видно, второе слагаемое уравнения представляет собой такой же степенной ряд, как и третье, и их легко объединить в одну сумму:

54

Но первое слагаемое со второй производной так же просто объединить со вторым и третьим не удастся, т.к. из–за множителя

ξ−2 оно не является степенным рядом.

Заменим в этом слагаемом переменную суммирования: i = k + 2 . Получим:

Теперь выражение под знаком суммы приобрело нужный вид. Зато добавились два лишних слагаемых с отрицательными k = –2 и –1.

Очевидно, однако, что оба эти слагаемые равны нулю (если бы так не получилось, решить уравнение методом разложения в ряд нам бы не удалось!), так что это слагаемое объединяется с первыми двумя в общий ряд. Чтобы это было удобно записать, изменим обозначение переменной суммирования в первых слагаемых, использовав вместо буквы i букву k. Тогда решаемое уравнение приобретёт вид

∞

∑Akξk = 0 ; Ak = (k +1)(k + 2)ck +2 +(ε −2k −1)ck .

k =0

55

Поскольку равенство нулю суммы полученного ряда должно выполняться при любых значениях независимой переменной ξ, все коэффициенты этого ряда A0 , A1 ,... равны нулю. В самом деле: если это не так, то

∞

∑Akξk = f (ξ) ,

k =0

причём f (ξ) не равна тождественно нулю. Тогда рассматриваемое равенство будет выполняться для отдельных значений этой переменной ξ1,ξ2 ,..., являющихся корнями алгебраического уравнения

f (ξ) = 0 .

Таких корней может быть конечное или бесконечное количество, они могут быть действительными и комплексными, причём действительных корней может не быть, а может не быть корней и вообще. Пусть ξn — один из действительных корней рассматриваемого уравнения (если таковые есть), т.е. f (ξn ) = 0 .

при любых действительных значениях ξ рассматриваемая сумма вообще никогда не равна нулю. В обоих случаях это противоречит полученному равенству f (ξ) ≡ 0 .

56

Таким образом, An = 0 при 0 ≤ n ≤ ∞. Отсюда следует рекуррентное соотношение между коэффициентами ряда для искомой функции:

Полученное соотношение является решением рассматриваемой задачи. Действительно: выберем произвольно значение c0 ≠ 0 .

Тогда из данного соотношения получим всю последовательность коэффициентов с чётными номерами:

рекуррентного соотношения получим всю последовательность коэффициентов с нечётными номерами:

57

и т.д.

Таким образом, общее решение рассматриваемого дифференциального уравнения представляет собой линейную комбинацию двух частных решений,

h(ξ) = c0ϕ(e) (ξ) + c1ϕ(o) (ξ) ,

одно из которых — ряд по чётным (even) степеням ξ, а другое — по нечётным (odd):

Коэффициенты этих функций (кроме первых) зависят от ε:

58

ит.д.

5.Тем самым, можно было бы считать решение задачи законченным. Однако нам следует ещё проверить асимптотическое поведение полученного решения. Напомним, что при ξ → ∞

функция h(ξ) может расти не быстрее, чем ξs , где s —

положительное, но конечное число.

Чтобы выяснить, как ведёт себя сумма сходящегося степенного ряда при больших значениях переменной, требуется знать зависимость от номера «старших» коэффициентов ряда (т.е. с большими номерами). Это так же верно, как и обратное утверждение: чтобы выяснить, как ведёт себя сумма сходящегося степенного ряда при малых (близких к нулю) значениях переменной,

требуется знать зависимость от номера «младших» коэффициентов ряда (т.е. с небольшими номерами).

Приведём пример: рассмотрим всем хорошо известный абсолютно сходящийся ряд

59

Для того чтобы с хорошей точностью подсчитать, чему равно e0.01, достаточно просуммировать первых три – четыре члена ряда. Очевидно, что десятый, а тем более сотый члены не внесут в сумму практически никакого вклада. Напротив, чтобы вычислить e100 , первые члены ряда совершенно не нужны, т.к. они пренебрежимо малы по сравнению с членами, номера которых велики. Именно эти члены и внесут решающий вклад в сумму ряда.

Посмотрим, как ведут себя коэффициенты рядов функций

ϕ(e) (ξ) и ϕ(o) (ξ) . Из рекуррентного соотношения следует, что

При k >> 1 числитель этого выражения становится равным 2k, а

знаменатель приближается к k2 . Поэтому

А теперь исследуем поведение старших коэффициентов разложения в ряд функции

60

Это — ряд по чётным степеням ξ , как и разложение ϕ(e) (ξ) .

Отношение «соседних» коэффициентов рассматриваемого ряда:

При k >> 1

αk +2 → 2 .

αk k →∞ k

Мы видим, что «старшие» коэффициенты разложений в ряд функций ϕ(e) (ξ) и eξ2 ведут себя совершенно одинаково. Это означает, что

ϕ(e) (ξ) → eξ2 .

ξ→∞

Точно так же убедимся, что

Таким образом, асимптотика функции h(ξ) оказывается следующей:

61

Мы убедились, что при произвольном значении параметра ε это соотношение «порождает» бесконечные ряды с неприемлемой асимптотикой.

Допустим, однако, что ε — нечётное целое число:

ε = 2n +1; n = 0, 1, 2,...

Тогда

Рассмотрим чётную последовательность коэффициентов,

образующих разложение функции ϕ(e) (ξ) . Пусть n — также чётное число. Из рекуррентного соотношения получим значения коэффициентов γ2 ,...,γn . Однако при вычислении γn+2 обнаружим,

что коэффициент пропорциональности между искомой величиной и γn обратился в нуль, и γn+2 = 0. Но тогда оказываются равными нулю и все следующие члены чётной последовательности коэффициентов: γn+4 = γn+6 = ... = 0 . Таким образом, вместо бесконечного ряда ϕ(e) (ξ) получается полином n – й степени

n

ϕn(e) (ξ) = ∑γn,kξk k =0,2,...

63

Нетрудно понять, что при чётных значениях n нечётная последовательность коэффициентов γ3,γ5... не обрывается, и

разложение функции ϕ(o) (ξ) остаётся бесконечным рядом. Однако если n нечётно, то, напротив, функция ϕ(o) (ξ) превращается в полином n – й степени

n

ϕn(o) (ξ) = ∑γn,kξk k =1,3,...

64

только одно из двух слагаемых функции h(ξ) имеет правильную асимптотику. Чтобы «уничтожить» слагаемое, приводящее к недопустимому поведению этой функции при больших значениях аргумента, следует просто положить равной нулю произвольную постоянную — множитель при «неправильном» слагаемом. Тогда получим:

c ϕ(e) , n = 0,2,4...

hn (ξ) = 0 ϕn(o) =

c1 n , n 1,3,5...

7. Таким образом, нетривиальные решения рассматриваемой задачи имеют место для счётного множества значений параметра ε, которое образует дискретный спектр собственных значений безразмерной энергии частицы:

εn = 2n +1; n = 0, 1, 2,...

Соответствующие значения «размерной» энергии «отстоят» друг от друга на одинаковые «расстояния», равные кванту колебательной энергии hω :

En =Φ0 + hω n + 12 .

66

«Принадлежащие» этим уровням собственные функции, которые являются стационарными волновыми функциями частицы, подсчитываются по формуле

un (ξ) = hn (ξ) exp(−ξ2 / 2).

Перейти к размерному аргументу волновой функции нетрудно, совершив замену ξ = x / x *.

Нормировочную постоянную (c0 или c1) подсчитаем, вычислив интеграл

Отсюда

Волновая функция un (x) является чётной относительно точки x

= 0, если квантовое число n — чётное, и нечётной, если n — нечётное. Такое поведение волновой функции обусловлено

67

асимптотически обращается в нуль. В классически недоступной

конечная (хотя и небольшая) вероятность обнаружить частицу в этой области. Это, конечно, не означает, что удастся измерить отрицательную кинетическую энергию или мнимую скорость частицы: при локализации частицы в классически недоступной области координат неопределённость её импульса становится слишком большой, чтобы сказать что–то определённое о величине её скорости.

Учащимся предлагается самостоятельно построить графики нескольких первых волновых функций и соответствующих плотностей вероятности, а также проанализировать поведение кванта энергии при увеличении (уменьшении) значения квантового числа n.

68