Учитывая, что
∂2 (xψ) |
|
∂2 (xψ ) |
|
∂ |
∂ψ |
|
∂ψ |
+ x |
∂2ψ |
|
|
∂x2 |
= |
∂x2 |
= |
|
ψ + x |
|
=2 |
∂x |
∂x2 |
, |
|
|
|||||||||||
|
|
∂x |
∂x |
|
|
|
|||||
из (3) получим:
ˆ |
|
h2 |
∂ψ |
≡ |
h |
(−ih) |
∂ψ |
. |
(4) |
|
|
|
|
|
|||||
[K, x]ψ =− |
|
|
|
|
|||||
|
ˆ |
m |
∂x |
|
mi |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. С учётом «координатного представления» оператора импульса равенство (4) перепишем в виде
[Kˆ , xˆ]ψ =mih pˆ x ψ.
А теперь примем во внимание равенство (2) — и получим требуемый ответ задачи.
Задача 17 (5.3.1)
Выведите соотношение неопределённостей между энергией и импульсом микрочастицы с одной степенью свободы:
111
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
Hrms |
px,rms |
≥ |
h |
|
|
∂Φ |
|
(1) |
||
2 |
∂x |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Решение
1. В соответствии с общим соотношением неопределённостей Гайзенберга
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FrmsGrms ≥ |
|
|
|
; |
|
|
|
ˆ ˆ |
(5.3.8) |
||
ξ |
|
|
|||||||||
2 |
ξ = i[F,G] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для вывода соотношения неопределённостей (1) между энергией (гамильтонианом) и проекцией импульса микрочастицы требуется, прежде всего, найти коммутатор представляющих эти
ˆ
динамические переменные операторов Гамильтона H и проекции импульса pˆ x . Но он уже вычислен в задаче 15:
ˆ |
|
] = ih |
∂Φ |
ˆ |
(2) |
|
|
||||
[H , p |
|
1. |
|||
|
ˆ x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Далее, согласно (5.3.8), из (2) найдём соответствующий самосопряжённый оператор
ˆ |
ˆ |
|
] = −h |
∂Φ |
ˆ |
(2) |
|
|
|||||
ξ |
= i[H , p |
|
1 |
|||
|
|
ˆ x |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112
и вычислим его среднее значение (4.4.7) в состоянии микрочастицы, которое описывается волновой функцией ψ(t,x):
|
|
|
. |
|
||
|
|
= <ψ | ξˆ |ψ >= −h |
∂Φ |
(3) |
||
ξ |
||||||
|
||||||
|
|
|
∂x |
|
||
3. Подставляя, наконец, (3) в (5.3.8), получим требуемое соотношение неопределённостей (1).
Задача 18 (5.3.2)
Выведите соотношение неопределённостей между энергией и координатой микрочастицы с одной степенью свободы:
Hrms |
xrms ≥ |
h |
|
|
|
|
|
|
. |
(1) |
|
px |
|
||||||||
2m |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение
1. В соответствии с общим соотношением неопределённостей Гайзенберга
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FrmsGrms ≥ |
|
|
|
; |
|
|
|
ˆ ˆ |
(5.3.8) |
||
ξ |
|
||||||||||
2 |
ξ = i[F,G] |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
113
для вывода соотношения неопределённостей (1) между энергией (гамильтонианом) и координатой микрочастицы требуется, прежде всего, найти коммутатор представляющих эти динамические
ˆ
переменные операторов Гамильтона H и проекции импульса xˆ . Но он уже вычислен в задаче 16:
ˆ |
|
ih |
p |
. |
(2) |
|
|
||||
[H , x] = − |
|
||||
|
ˆ |
m |
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Далее, согласно (5.3.8), из (2) найдём соответствующий самосопряжённый оператор
ˆ |
ˆ |
|
h |
p |
(2) |
|
|
||||
ξ |
= i[H , x] = |
|
|||
|
|
ˆ |
m |
ˆ x |
|
|
|
|
|
|
|
и вычислим его среднее значение (4.4.7) в состоянии микрочастицы, которое описывается волновой функцией ψ(t,x):
|
= <ψ | ξˆ |ψ >= |
h |
|
|
. |
(3) |
||
|
|
|
px |
|||||
ξ |
||||||||
m |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Подставляя, наконец, (3) в (5.3.8), получим требуемое соотношение неопределённостей (1).
114