Т.Р . 2005 Сист. лін. рівн. вектори
.pdfВаріант |
a |
p |
q |
r |
|
|
|
|
|
29 |
(15;20;9) |
(4;2;0) |
(1;3;0) |
(2;1;3) |
|
|
|
|
|
30 |
(2;-1;1) |
(3;0;1) |
(-1;2;2) |
(0;1;1) |
|
|
|
|
|
31 |
(1;-10;2) |
(2;-1;0) |
(-1;1;3) |
(2;0;-2) |
|
|
|
|
|
32 |
(2;2;8) |
(3;1;0) |
(2;0;2) |
(1;1;-1) |
|
|
|
|
|
33 |
(7;4;5) |
(-1;1;0) |
(1;2;-1) |
(3;0;3) |
|
|
|
|
|
34 |
(0;10;5) |
(1;1;-1) |
(0;4;1) |
(2;1;-1) |
|
|
|
|
|
35 |
(3;-1;9) |
(2;0;0) |
(-3;1;1) |
(0;-1;1) |
|
|
|
|
|
36 |
(1;18;16) |
(0;1;1) |
(2;0;4) |
(-2;1;-1) |
|
|
|
|
|
37 |
(-1;5;4) |
(1;0;1) |
(-3;1;0) |
(2;2;1) |
|
|
|
|
|
38 |
(4;8;8) |
(2;1;0) |
(-1;1;0) |
(4;1;1) |
|
|
|
|
|
39 |
(5;-5;5) |
(2;2;1) |
(0;-1;1) |
(0;1;2) |
|
|
|
|
|
40 |
(0;7;3) |
(1;1;1) |
(0;-1;2) |
(3;1;1) |
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Дано координати векторів a |
і |
|
|
в ортонормованому базисі. |
|||||||||||||
|
b |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислити координати векторів |
c1 1a 1 |
b |
|
|
і c2 |
2a 2 |
b |
. |
Перевірити |
|||||||||
колінеарність та ортогональність векторів |
c1 |
і |
c2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
||
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
(8;1;9) |
(6;5;1) |
6 |
|
|
|
|
-3 |
|
-2 |
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
(1;–2;2) |
(6;3;2) |
7 |
|
|
|
|
3 |
|
7 |
|
|
-3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
(1;–1;–1) |
(4;2;2) |
12 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
-3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
(11;–1;5) |
(1;1;9) |
3 |
|
|
|
|
-2 |
|
-6 |
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5 |
(–2;2;1) |
(–1;1;–4) |
5 |
|
|
|
|
-1 |
|
2 |
|
|
5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Варіант |
a |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
b |
||||||||
6 |
(3;–6;2) |
(–2;–1;2) |
3 |
–7 |
3 |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
(4;1;12) |
(4;3;6) |
–3 |
4 |
4 |
–3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
8 |
(2;1;15) |
(8;–1;1) |
3 |
–4 |
–9 |
12 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
(1;2;4) |
(3;–4;–4) |
6 |
–2 |
–3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
10 |
(4;2;–4) |
(2;6;3) |
7 |
5 |
–7 |
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
11 |
(9;2;–10) |
(1;–2;4) |
1 |
–3 |
–2 |
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
12 |
(2;9;7) |
(4;5;–9) |
4 |
–3 |
–12 |
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
13 |
(5;3;0) |
(1;5;–2) |
6 |
–3 |
–2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
14 |
(2;2;8) |
(4;–6;4) |
2 |
–1 |
–6 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
15 |
(–1;–3;3) |
(3;3;7) |
3 |
9 |
–1 |
–3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
16 |
(6;1;1) |
(2;2;4) |
2 |
1 |
6 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
17 |
(1;1;–1) |
(2;–1;1) |
5 |
–3 |
6 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
18 |
(4;4;4) |
(1;5;–2) |
4 |
–2 |
–2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
19 |
(–1;–2;3) |
(1;–2;–1) |
3 |
–1 |
1 |
7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
(1;–5;0) |
(3;–9;2) |
6 |
–2 |
–3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
21 |
(3;4;5) |
(3;4;–5) |
4 |
–1 |
1 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
22 |
(6;2;1) |
(4;2;–4) |
2 |
–1 |
–4 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
23 |
(11;4;1) |
(1;4;5) |
5 |
–3 |
–10 |
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
Варіант |
a |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
b |
||||||||
24 |
(4;–3;8) |
(1;4;2) |
4 |
–2 |
–2 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
25 |
(5;–4;3) |
(5;4;–3) |
2 |
–3 |
3 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
26 |
(5;–8;–2) |
(1;–6;10) |
2 |
–3 |
3 |
–2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
27 |
(3;0;–1) |
(2;0;6) |
4 |
1 |
2 |
–2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
28 |
(3;–6;6) |
(6;3;–2) |
7 |
–9 |
7 |
9 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
29 |
(–2;6;1) |
(7;1;–2) |
2 |
–1 |
3 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
30 |
(2;0;–1) |
(5;–4;2) |
3 |
–1 |
3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
31 |
(7;5;–2) |
(4;2;4) |
2 |
–4 |
–1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
32 |
(5;–3;1) |
(3;3;0) |
–1 |
2 |
2 |
–4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
33 |
(11;1;4) |
(1;4;–5) |
2 |
–3 |
–2 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
34 |
(9;1;1) |
(–1;4;4) |
1 |
2 |
–1 |
–2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
35 |
(3;7;7) |
(–4;2;2) |
1 |
–2 |
4 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
36 |
(4;–2;–2) |
(1;3;5) |
–2 |
–4 |
–3 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
37 |
(9;–3;1) |
(1;8;4) |
–1 |
3 |
–3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
38 |
(7;0;3) |
(2;–4;1) |
–1 |
2 |
–2 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
39 |
(–1;–1;1) |
(2;3;0) |
5 |
–2 |
3 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
40 |
(–2;–2;1) |
(–3;7;1) |
4 |
–3 |
1 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
Задача 6. Дано координати векторів a і b за векторами p , q , модулі p , q та кут p, q . Користуючись означенням і властивостями
скалярного і векторного добутків, обчислити:
1)проекцію вектора a на напрям вектора b ;
2)площу паралелограма, побудованого на векторах a і b .
Варіант |
a |
|
|
|
|
p |
|
|
q |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10 p q |
6 p 2q |
5 |
|
3 |
|
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 p 2q |
p 2q |
4 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 p 4q |
7 p q |
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
p q |
p 3q |
8 |
|
0,5 |
|
|
||||||
|
|
3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
p 3q |
3 p q |
0,5 |
4 |
|
|
5 |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
3 p q |
p 3q |
2,5 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 p q |
3 p 4q |
2 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
p q |
p 3q |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
6 p q |
2 p 3q |
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
p 5q |
p 2q |
3 |
|
5 |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
2 p 3q |
3 p 2q |
4 |
|
3 |
|
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
5 p q |
2 p q |
7 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
4 p q |
p 4q |
3 |
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
p q |
3 p q |
5 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
p 4q |
3 p 2q |
2 |
|
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
2 p q |
p q |
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
4 p q |
2 p 3q |
4 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
p 2q |
p 2q |
7 |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Варіант |
a |
|
|
|
|
|
p |
|
|
q |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
3 p q |
2 p 3q |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
20 |
p 2q |
3 p q |
|
10 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
21 |
2 p 3q |
5 p q |
|
0,5 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
22 |
3 p q |
p 3q |
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
23 |
p 3q |
p q |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
24 |
7 p 2q |
6 p q |
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
25 |
7 p 3q |
p 3q |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
26 |
4 p q |
2 p q |
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
27 |
2 p q |
4 p 2q |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28 |
4 p 2q |
2 p 6q |
|
2 |
|
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
29 |
6 p 2q |
2 p q |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
30 |
2 p 2q |
p 6q |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
31 |
2 p q |
p 4q |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32 |
p 2q |
3 p 2q |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
33 |
p 5q |
2 p q |
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
34 |
3 p 4q |
2 p q |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
35 |
2 p 3q |
3 p q |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
36 |
p 2q |
5 p 3q |
|
6 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
37 |
4 p q |
2 p 3q |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
38 |
p q |
4 p 5q |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
39 |
3 p q |
2 p q |
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варіант |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
3 p 2q |
|
|
|
2 p q |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 7. Дано прямокутні Декартові координати точок A , B , C , D . |
||||||||||||||||||||||
Обчислити: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
кут між векторами |
AB і AC ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
проекцію вектора |
AC на напрям вектора |
AB ; |
|
|
|
3)площу трикутника ABC ;
4)об’єм тетраедра з вершинами в точках A, B, C, D та його висоту, опущену з вершини D на грань ABC .
Варіант |
A |
B |
C |
D |
1 |
3;0; 1 |
2;3; 2 |
6;1; 5 |
9;10; 6 |
|
|
|
|
|
2 |
0; 2; 2 |
1;9;3 |
6; 6; 2 |
3; 2;8 |
|
|
|
|
|
3 |
12; 2;3 |
7; 5;0 |
4; 8; 5 |
4;0; 3 |
|
|
|
|
|
4 |
2;3;0 |
4;1; 3 |
6;3;6 |
9;5; 9 |
|
|
|
|
|
5 |
3; 0;3 |
2;3;0 |
4;3; 2 |
3;3;6 |
|
|
|
|
|
6 |
2; 2;3 |
0; 2; 4 |
3; 1;5 |
0;1; 1 |
|
|
|
|
|
7 |
1; 2;0 |
3;0; 3 |
5; 2;6 |
6; 4; 4 |
|
|
|
|
|
8 |
2; 2;0 |
3; 4; 2 |
4;3; 2 |
6;10; 7 |
|
|
|
|
|
9 |
1;5; 5 |
3;6;5 |
2;7;5 |
4;8;10 |
|
|
|
|
|
10 |
0; 4; 7 |
4;5; 4 |
2; 2;0 |
5;5; 4 |
|
|
|
|
|
11 |
1; 4; 3 |
4;1;0 |
2;3; 2 |
3; 6;5 |
|
|
|
|
|
12 |
5;0;3 |
1; 2;0 |
1; 4;1 |
4;3; 6 |
|
|
|
|
|
13 |
2;0; 2 |
1;1; 4 |
3; 2;0 |
3; 1; 3 |
|
|
|
|
|
14 |
2;3;1 |
2;0;3 |
1; 2;0 |
2;1; 2 |
|
|
|
|
|
15 |
2;1;3 |
2;3;0 |
3; 1; 2 |
3; 2;1 |
|
|
|
|
|
16 |
2;3; 2 |
2;1; 2 |
1;0;7 |
1; 4; 3 |
|
|
|
|
|
17 |
4;11;0 |
1; 4; 4 |
5;1; 2 |
2;0;3 |
|
|
|
|
|
18 |
0;3;5 |
0; 1; 3 |
4;1;0 |
8; 2; 2 |
|
|
|
|
|
19 |
1; 2; 2 |
3; 2;3 |
3;0;6 |
4; 2; 3 |
|
|
|
|
|
20 |
2; 4;1 |
5;0;3 |
4;1; 2 |
3; 4;6 |
|
|
|
|
|
21 |
1;0;0 |
1; 4;3 |
4; 2; 3 |
3;8; 4 |
|
|
|
|
|
22 |
2; 4;7 |
3; 2; 3 |
1; 2;0 |
4;3; 7 |
|
|
|
|
|
23 |
3; 3; 2 |
6; 5;1 |
0; 4; 2 |
9; 7;8 |
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
Варіант |
A |
B |
C |
D |
24 |
2;0;3 |
3; 2;3 |
2; 2;5 |
7; 2;9 |
|
|
|
|
|
25 |
7;1;1 |
2; 1;1 |
1; 3; 5 |
6;5; 6 |
|
|
|
|
|
26 |
1; 2; 1 |
2;5;0 |
6; 1; 2 |
6;1;0 |
|
|
|
|
|
27 |
7;1;1 |
2; 1;1 |
1; 3; 5 |
6;5; 6 |
|
|
|
|
|
28 |
2; 2;1 |
2;1;0 |
4;1;5 |
4;3; 5 |
|
|
|
|
|
29 |
2;1;1 |
2;1; 1 |
4; 4;5 |
1;6; 7 |
|
|
|
|
|
30 |
2; 2;1 |
1;3;3 |
3;1;3 |
3;5; 4 |
|
|
|
|
|
31 |
0; 2; 2 |
4; 1;3 |
7;5;0 |
2; 2;1 |
|
|
|
|
|
32 |
3;3;0 |
1; 4; 2 |
5; 7;1 |
0;1; 8 |
|
|
|
|
|
33 |
2;1; 2 |
3;0; 4 |
1;6;3 |
4; 3;0 |
|
|
|
|
|
34 |
3;3; 2 |
0;1; 4 |
2;1;1 |
6;1;7 |
|
|
|
|
|
35 |
1; 4; 4 |
0; 3;6 |
2; 1; 2 |
3;3;0 |
|
|
|
|
|
36 |
8;1; 2 |
1;3;0 |
5; 2;7 |
4; 1; 1 |
|
|
|
|
|
37 |
5; 3; 2 |
4;1;1 |
6;6;0 |
2;0;1 |
|
|
|
|
|
38 |
1;3; 2 |
4; 2;6 |
0;1; 4 |
2;0;1 |
|
|
|
|
|
39 |
2;1; 1 |
0; 7;3 |
1;0; 2 |
4;1;1 |
|
|
|
|
|
40 |
0;7; 1 |
2; 2;1 |
3; 4;3 |
6;0; 2 |
|
|
|
|
|
17