Аналітична геометрія_2011 Соколовська Г.В., Соколовський С.Ю

проходить через точку D 4;0; 2 паралельно прямій l

:

x 3

y 5

z

.

1

1

2

Розв’язання.

З канонічних рівнянь прямої

l

видно, що

її

напрямний

вектор

s 1; 1;2 . Він є напрямним вектором також і для прямої

l1 , оскільки

l1 l . Знаючи точку D 4;0; 2 , що лежить на прямій та напрямний век-

тор, запишемо канонічні рівняння прямої l

:

x 4

y

z 2

, а також її

1

1

1

2

параметричні рівняння x t 4, y t, z 2t 2.

x 3y z 2 0,

Вправа 3.7. Записати канонічні рівняння прямої l :

.

2x y 4z

3 0

Розв’язання.

Пряму l задано як лінію перетину двох площин, нормальними вектора-

ми яких є n1 1; 3; 1 та n2 2;1;4 . Оскільки пряма l

лежить в обох

i

j

k

s n1 n2

1

3

1

11i 6 j 7k .

2

1

4

Тепер слід знайти координати однієї точки M0 , що належить прямій. Вони

x 3y z 2 0,

мають задовольняти загальне рівняння прямої l :

тобто

2x y 4z 3

0,

базисні змінні. Нехай це будуть x і

y , оскільки визначник, що складається з

3

7 . Надамо тепер

коефіцієнтів при них, відмінний від нуля. Дійсно

1

2

1

довільного значення змінній z , наприклад z 0 . З одержаної системи рівнянь

x 3y 2,

маємо x 1, y 1

. Отже M0 1; 1;0 . Таким чином, ка-

2x y 3

мої

x

y

z

.

3

5

4

x 1

y 1

Вправа 3.9. Знайти точку перетину прямої

l :

z

і пло-

2

щини P :2x 3y z 1 0.

1

6

Розв’язання.

l

Запишемо

параметричні

рівняння

прямої

:x t 1, y 2t 1,

z 6t . Знайдемо таке значення параметру

t , при

рівняння

площини. Для

цього

підставимо їх

в

рівняння площини

2 t 1

3 2t 1 6t 1 0. З отриманого рівняння знайдемо t 1. То-

ді M 1 1; 2 1 1;6 1 або

M 2; 3;6 є точкою перетину прямої і пло-

щини.

l :x 2t 1, y 3t 2,

Вправа

3.10.

Обчислити

кут

між прямою

z 2t 3

та площиною P : y 4z 1 0.

Розв’язання.

З умови задачі видно,

що вектор s 2; 3;2 є напрямним вектором

прямої l ,

а n 0; 1;4

- нормальний вектор площини P . За формулою

41 маємо

s n

2 0 3

1 2 4

11

sin l ,P

cos

.

s, n

s

n

22 3

2

22

02

1

2

42

17

Вправа 3.11. Довести,

що прямі l1 :x 3t 7, y 2t 2, z 2t 1 та

l

:

x 1

y 2

z 5

лежать в одній площині.

Написати рівняння цієї

2

2

3

4

площини.

Розв’язання.

Як бачимо з

умови

задачі, напрямні

вектори

s1 3;2; 2 та

s

2; 3;4 прямих l

і l не колінеарні

3

2

2 . Тоді прямі

2

1

2

3

l1 і l2

2

4

лежать в одній площині лише в тому випадку,

якщо вони перети-

наються. Візьмемо точки M1 7;2;1 l1 та

M2 1; 2;5 l2 . Для того,

щоб ці прямі лежали в одній площині достатньо, щоб вектори s1, s2

та M1M 2

були компланарні. Тут

M1M2 1 7; 2 2;5 1 6; 4;4 . Перевіри-

мо компланарність векторів, обчисливши їх мішаний добуток,

2

2

s1 s2 M1M2

3

2

3

4

0 . Отже, прямі l1 і l2 перетинаються.

6

4

4

Нормальний вектор n шуканої площини ортогональний векторам

s1 та s2 .

i

j

k

Тому n s1 s2

3

2

2

2i 16 j 13k . Знаючи нормальний вектор

2

3

4

Розв’язання.

35 , в

Рівняння траєкторії записуються як параметричні рівняння прямої

яких t - час, m;n; p - координати вектора швидкості

v

,

m2 n2

p2

1 2 22 2 2

3, а швидкість v 12 , то запише-

Оскільки

s

щинами P : 2x 3y 5z 41 0 та P : 2x 3y 5z 31 0 . Для цьо-

1

2

го визначимо точки перетину прямої l з кожною з них (див. вправу 3. 9).

Одержимо точку N

8; 15;14 перетину прямої l з площиною P (тут

1

1

t

3

) і точку N

4;9; 10

перетину цієї прямої з площиною P

(тут

2

4

2

t

15

). Знайдемо відстань між цими точками. Маємо

4

N N

2

4 8 2 9 15 2 10 14 2 36 .

1

Оскільки швидкість точки

v 12 , то отриману відстань вона пройде за

36

3 одиниці часу.

12

Вправа 3.15. Записати рівняння площини, що проходить через точку

K 5;3;4

паралельно до площини 2x y 2z 7 0 .

Вправа

3.16.

Які

відрізки відтинає

на координатних осях площина

2x y 3z 12 0?

Вправа 3.17. Записати рівняння площини, що проходить через точки

M1 3; 1;2

, M2 4; 1; 1 перпендикулярно до площини x 5 y 7z 2 0.

Вправа 3.18. Записати рівняння площини, яка проходить через точки

A 3;0;1 , B 2;2; 3 , C 4;1;7 .

Вправа

3.19.

Знайти кут

між

площинами

6x 3y 2z 0

та

x 2 y 6z 12 0 .

Вправа

3.20.

Знайти відстань

між

двома паралельними

площинами

2x y 2z 7 0 та 2x y 2z 5 0.

Вправа

3.21.

Записати рівняння прямої, яка проходить

через точки

M 1;2; 3

та N 0;5;6 .

Вправа 3.22. Записати канонічні і параметричні рівняння прямої, яка про-

ходить через точку M

2;0;3 паралельно прямій

x 2

y 1

z

.

0

5

1

2

Вправа 3.23. Знайти кут між прямими l1 : x t 1, y 2t, z 5 2t

та

l2 : x 3t, y 2 4t, z 1.

2x y 3 0,

Вправа 3.25. Записати канонічні рівняння прямої:

3x 2 y z 5 0.

Вправа 3.26.

Записати

рівняння площини, що проходить через точку

x y 5z 2 0,

N 4;3; 1 перпендикулярно прямій

.

y 3z 4

0.

Вправа 3.27. Записати рівняння площини, що проходить через точку

M 0; 1; 3

і пряму l : x 2t 1, y 5 t, z 3t 1.

Вправа 3.28. Записати рівняння площини, яка проходить через дві пара-

лельні прямі l : x t 2, y 3t 1, z 5 t

та l

:

x 4

y

z 2

.

1

2

1

3

1

Вправа 3.29. Знайти точку перетину площини

3x 4 y 7z 17 0 і

прямої x 2t 15, y 2t 24, z t 16 .

Вправа 3.30.

Чи

лежить

пряма l :

x 2

y 1

z 3

у

площині

2

x 2 y 2z

6 0 ?

3

2

Вправа 3.31.

Чи будуть

паралельні

пряма

l

:

x 3

y 2

z 1

і

площина x 2 y z 15 0?

3

1

5

Вправа 3.32. Знайти кут між прямою l :

x 2

y 1

z

та площи-

1

ною x y 3z 2 0.

3

2

Вправа

3.33.

Знайти

проекцію

точки

M 1;3; 4

на

площину

3x y 2z 0 .

Вправа 3.34. Знайти точку N симетричну точці M 2;1;0 відносно пря-

мої l :

x 2

y 1,5

z 0,5

.

1

0

1

Вправа 3.35. Точка M x; y; z рухається прямолінійно і рівномірно з по-

ложення M0 1;3; 2

в

напрямі вектора

s 2;0;3

зі

швидкістю

Відповіді

Розділ 1.

1.12. 7x 4 y 1 0 . 1.13. а) 5x y 2 0 ; б) 3x y 2 0 .

1.14. а) ; б) arccos

1

; в) ; г)

. 1.15. 7 . 1.16. 2x y 3 0

,

2

5

2

4

2

x 2 y 6 0 . 1.17. 3x 2 y 7 0, x y 1 0, 2x 3y 7 0.

1.18. 2x y 14, h

18

358

140

. 1.19. M

;

, 12см .

5

53

53

Розділ 2.

2.5.

а)

x2

y2

1;

б)

x2

y2

1.

2.6.

а)

x2

y2

1;

400

256

25

9

5

20

б)

x2

y2

1.

2.7. а)

y2 9x

; б) x2 4 y .

2.8. а)

коло з рівнянням

9

16

x 2 2

y 1 2

9; б) еліпс з рівнянням

x 3

2

y

2

1; в) еліпс з рів-

9

5

нянням

x 2 2

y 1 2

1;

г) гіпербола з рівнянням

x2

y 1 2 1;

4

9

9

16

д) гіпербола з рівнянням

x 3 2

y 2 2

1;

е) парабола з рівнянням

25 3

5

y 3 2

4 x 2 ; є) парабола з рівнянням x 0,5 2

3

y 1 . ж) ліва

4

вітка гіперболи

x 9 2

y 2 2

1;

з)

верхня

половина

еліпса

16

4

x 3 2

y2

1;

и) та частина гіперболи

x 5 2

y 2 2

1,

яка ле-

4

16

9

16

жить у правій півплощині відносно прямої

x 5 ;

і) права вітка параболи

x 4 2

9 y 5 . 2.9. a 150

млн.км ,

1

. 2.10 40 см .

60

Розділ 3.

3.14. 5x 5 y z 7 0. 3.15. 2x y 2z 5 0 . 3.16.

a 6, b 12,

c 4.

3.17.

15x 4 y 5z 51 0 .

3.18. 16x 58y 9z 57 0 .

3.19. .

2

3.20.

4 .

3.21.

x 1

y 2

z 3

.

3.22.

x 2

y

z 3

або

1

3

9

5

1

2

1

1

x 5t 2, y t, z 2t 3 .

3.23.

arccos

arccos

.

3.24.

3

3

x 1

y 1

z 3

.

3.25

x

y 3

z 1

. 3.26.

8x 3y z 24 0. 3.27.

2

0

5

1

2

7

2x y z 2 0 . 3.28.

22x y 19z 50 0 . 3.29. M 25;16;4 . 3.30. Так.

3.31. Так. 3.32. arcsin

2

. 3.33.

M1 2;2; 2 . 3.34.

N 2; 2; 3 . 3.35.

154