03 семестр / 12 вариант / 2 задача / 2
.pdf
По коаксиальному кабелю, радиусы внешнего и внутреннего проводника которого равны R0 и R соответственно, протекает ток I. Пространство между проводниками заполнено магнетиком, магнитная проницаемость которого меняется по закону
μ=f(r).
Построить графически распределения модулей векторов индукции B и напряжённости H магнитного поля, а также вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях магнетика и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r). Определить индуктивность единицы длины кабеля.
Функция μ=f(r) имеет вид: μ=(R0n+rn)/(R0n+Rn).
Значения параметров R0/R=2/1 и n=3
Вариант 12
По условию: R0 = 2R; μ = 2R3R+ r
Вычислим магнитную индукцию по формуле: B = μμ0 H
B(r) = |
μ |
|
I |
|
2R + r |
|
μ |
|
I |
|
2 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
= |
|
0 |
|
|
|
+ |
|
|
|
2πr |
3R |
2π |
3r |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3R |
|||||||||
2R + r |
|
|
I |
||
Намагниченность материала проводника: J = χ H = (μ −1)H = |
|
−1 |
|
|
|
3R |
2πr |
||||
|
|
|
|||
J (r) = I (r − R) 6πRr
По теореме о циркуляции намагниченности:
∫Jrdlr = I ' , где I ' - ток намагниченности.
l
J 2πr = I '
Найдем дифференциал: 2πd (rJ ) = dI ' Т.к. dI ' = j ' 2πrdr
Поверхностная плотность тока намагничивания:
j ' = 1 d (rJ ) r dr
j′ = |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
6πRr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найдем плотность тока намагничивания на внутренней и внешней поверхностях проводника: |
|||||||||||||||||||||
j′(R) = |
|
I |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6πR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j2′(R0 ) = |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
12πR2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для нахождения индуктивности единицы длины кабеля найдем поток вектора B через продольное |
|||||||||||||||||||||
сечение кабеля единичной длины: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
R0 |
hdr = |
μ |
|
I R0 |
|
2 |
|
+ |
1 |
μ |
|
I |
2 |
ln R0 − |
2 |
|
||||
Ф = ∫B |
|
0 |
|
∫ |
|
3r |
dr = |
|
0 |
|
3 |
3 |
ln R |
||||||||
|
R |
|
|
|
|
2π |
R |
|
|
3R |
2π |
|
|
||||||||
Ф = |
μ0 I |
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Индуктивность: |
L = |
Ф |
= |
μ0 |
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
График зависимостей B(r), H (r), J (r) , где r изменяется от R до R0 |
|||||||||||||||||||||
|
B( r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
H( r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J( r) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|