Надёжность / Все лекции по надёжности

β –параметр формы распределения

γ – параметр положения

Другой способ записи закона и плотности распределения Вейбулла также часто встречается в литературе:

Плотность вероятности отказов этого распределения:

( ) = 0 −1 −( 0 )

Вероятность безотказной работы за время t:

( ) = −( 0 )

Интенсивность отказов:

( ) = 0 −1

где α и λ0 - параметры закона распределения.

Параметр λ0 определяет масштаб, при его изменении кривая распределения сжимается или растягивается. При α=1 функция распределения Вейбулла совпадает с экспоненциальным распределением; при α<1 интенсивность отказов будет монотонно убывающей функцией; при α>1 - монотонно возрастающей. Это обстоятельство дает возможность подбирать для опытных данных наиболее подходящие параметры α и λ0, с тем,

чтобы уравнение функции распределения наилучшим образом совпадало с опытными данными.

Распределение Вейбулла имеет место для отказов, возникающих по причине усталости тела детали или поверхностных слоев (подшипники, зубчатые передачи). Этот случай связан с развитием усталостной трещины в зоне местной концентрации напряжений,

технологического дефекта или начального повреждения. Период времени до зарождения микротрещины характеризуется признаками внезапного отказа, а процесс разрушения -

признаками износового отказа.

Этот закон применим для отказов устройства, состоящего из последовательно соединенных дублированных элементов и других подобных случаев.

Это распределение иногда используется для описания надежности подшипников качения (α = 1,4 - 1,7).

Средняя наработка до первого отказа определится из следующего выражения:

1 Γ( + 1)

̅= 1

0

Значения Г (гамма-функции) табулированы.

Рис.4. Графики основных показателей безотказности при распределении Вейбулла

Экспоненциальное распределение

Это частный случай распределения Вейбулла (при параметре формы β=1)

( ) = 1 − −

и

( ) = −

где λ –параметр распределения

= 1̅( ̅- математическое ожидание наработки или ресурса) λ- const

Вероятность безотказной работы:

( ) = −

Интенсивность отказов = 1,

̅

т.е. совпадает с параметром λ

Рис.5. График вероятности безотказной работы при экспоненциальном законе распределения с.в. наработки на отказ

Рис.6. Сравнение интенсивности отказов: 1 – для внезапных отказов; 2 – для постепенных отказов

Важное свойство экспоненциального распределения

Если объект отработал, предположим, время τ без отказа, сохранив λ=соnst, то дальнейшее распределение времени безотказной работы будет таким, как в момент первого включения.

Таким образом, отключение работоспособного объекта в конце интервала и новое его включение на такой же интервал множество раз приведет к пилообразной кривой ( ) =

(см. рис.7).

Другие распределения не имеют указанного свойства. Из рассмотренного следует на первый взгляд парадоксальный вывод: поскольку за все время τ устройство не стареет (не меняет своих свойств), то нецелесообразно проводить профилактику или замену устройств для предупреждения внезапных отказов, подчиняющихся экспоненциальному закону.

Рис.7. Вероятность безотказной работы при экспоненциальном законе распределения наработки на отказ:

1 – непрерывная работа в течение t; 2 – работа с перерывами τ

Рис.8. Графики основных показателей безотказности при экспоненциальном распределении наработки на отказ

Лекция 8

Структурные схемы надежности машин. Схема с последовательным соединением элементов. Схема с комбинированным соединением элементов. Понятие о резервировании элементов в системах.

Структурные схемы надежности машин.

Под структурной схемой надежности понимается наглядное представление

(графическое или в виде логических выражений) условий, при которых работает или не работает исследуемый объект (система, устройство, технический комплекс и т.д.). Типовые структурные схемы представлены на рис. 1

Рис.1. Типовые структурные схемы

а – последовательная; б – параллельная; в – последовательно-параллельная

Для преобразования кинематической схемы в структурную схему надежности необходимо определить, какие функции нас интересуют и условия выполнения этих функций.

На рис.2 и 3 показаны примеры преобразования систем в структурные схемы надежности.

Рис.2. Пример преобразования в структурную схему надежности для ленточного конвейера

Рис.3. Пример преобразования в структурную схему надежности для автомобиля с гибридным приводом

Схема с последовательным соединением элементов.

Самым простым случаем в расчетном смысле является последовательное соединение элементов системы. В такой системе отказ любого элемента равносилен отказу системы в целом. По аналогии с цепочкой последовательно соединенных проводников, обрыв каждого

из которых равносилен размыканию всей цепи, мы и называем такое соединение

«последовательным» (рис. 4). Следует пояснить, что «последовательным» такое соединение элементов является только в смысле надежности, физически они могут быть соединены как угодно.

Рис. 4

Последовательное соединение соответствует случаю, когда при отказе элемента отказывает вся система; наработка до отказа системы равна наработке до отказа того элемента, у которого она оказалась минимальной:

Tc= min(Тj), j=1, 2, ...,n,

где п — число элементов системы

Вероятность безотказной работы системы:

( ) = ( ) ( ) ( )

При экспоненциальном распределении с.в. наработки на отказ:

( ) = − − −

Интенсивность отказов системы:

= + +

Средняя наработка системы до отказа:

где t j — средняя наработка до отказа j-го элемента; n - количество элементов в системе.

Схема с параллельным соединением элементов.

Рис.5

Параллельное нагруженное соединение соответствует случаю, когда система сохраняет работоспособность, пока работоспособен хотя бы один элемент из k включенных в работу;

наработка до отказа системы равна максимальному из значений наработки до отказа элементов:

Tc= max(Тj), j=1, 2, ...,k,

Вероятность безотказной работы системы:

( ) = 1 − ∏(1 − )

=1

Понятие о резервировании элементов в системах.

Резервирование — метод повышения характеристик надёжности технических устройств или поддержания их на требуемом уровне посредством введения аппаратной избыточности за счет включения запасных (резервных) элементов и связей, дополнительных по сравнению с минимально необходимым для выполнения заданных функций в данных условиях работы.

Основные виды резервирования.

1. При структурном резервировании (замещением) в структуру технической системы (машины, технологической линии, электронной схемы и т.д.) для повышения надёжности включаются дополнительные (резервные) элементы, обычно одинаковые с основными элементами системы.

При этом, если резервные элементы при работе основных элементов не используются

(используются только при отказе основных), то это ненагруженный резерв.

Если резервные элементы используются всё время, в том числе и одновременно с основными, то это нагруженный резерв.

Кратностью структурного резервирования называется отношение числа резервных элементов к числу основных, резервируемых ими. При кратности резервирования, равной единице, имеем дублирование. Кратность резервирования принято обозначать m. Например,

если m=3, то это означает что: основное устройство — одно, число резервных устройств — три, а общее число устройств равно (три плюс один) четырём.

Если m=4/2, то это означает резервирование с дробной кратностью, при котором число резервных устройств равно четырём, число основных — двум, а общее количество устройств — шести.

Сократить дробь нельзя, так как если m=4/2=2, то это резервирование с целой кратностью, при котором число резервных устройств — два, основное — одно, а общее количество устройств — три!

Различают разные способы резервирования. При общем резервировании резервируется объект в целом (рис. 6,а). При раздельном резервировании резервируются элементы объекта по отдельности (рис. 6,б).

Рис.6. Пример общего (а) и раздельного (б) резервирования

2. При нагрузочном резервировании для повышения надёжности техники используется способность её элементов и систем в целом нести повышенную нагрузку (в

широком смысле слова) по сравнению с минимально необходимой для нормальной работы.

Рис.7. Классификация видов резервирования

Схема с ненагруженным резервом.

Параллельное ненагруженное соединение соответствует случаю, когда при отказе элемента включается в работу очередной резервный элемент и таким путем система сохраняет работоспособность. Наработка до отказа системы равна сумме наработок до отказа элементов.

Вероятность безотказной работы системы, состоящей из (n+1) элементов, один из которых функционирует, а п остальных находятся в состоянии ненагруженного резерва до момента выхода из строя нагруженного элемента (рис.8) , определяется при экспоненциальном законе распределения:

P(t) n ( t)i e t

i 0 i!