
- •Учащимся 10 и 11 класса Движение материальной точки по окружности
- •Кинематика вращательного движения
- •Динамика вращательного движения
- •3. Примеры решения задач
- •Ответ: угловая скорость центрифуги должна быть равна 4 с-1.
- •Решение
- •Решение
- •4. Задачи для учащихся, готовящихся к олимпиаде по физике
- •5. Задачи для самостоятельного решения
- •Готовимся к сдаче Единого государственного экзамена (егэ) по физике
- •Законы постоянного тока
- •Примеры решения задач части с егэ
- •Задачи для самостоятельного решения
4. Задачи для учащихся, готовящихся к олимпиаде по физике
З
адача
16. Шарик, подвешенный на нити
длиной L=1 м, вращают в
горизонтальной плоскости так, что нить
образует с вертикалью угол
=300(конический маятник). Определить
угловую скорость
и частоту вращения шарика n,
если маятник находится в кабине,
движущейся вертикально вверх с ускорением
a = 5 м/с2.
Решение
1. Решаем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Выбираем систему координат так, чтобы одна из осей (в данном случае ось У) совпала с ускорением а, и составляем динамические уравнения относительно каждой из осей:
на ось У: Т Cos - mg= ma, или Т Cos = mg + ma;
на ось Х: Т Sin = m an, или Т Sin = m 2r.
С учетом того, что радиус вращения шарика равен r = L Sin , получаем Т Sin = m 2L Sin , или Т = m 2 L.
Итак, получили два уравнения: Т Cos = mg + ma,
Т = m 2 L.
Выполнив почленное деление уравнений
одного на другое, получаем Cos
=
.
Отсюда находим
=
.
Подставив данные величины, получаем
= 4,1 с-1. Частота
вращения равна n =
об/с; n = 0,65 об/с = 39 об/мин.
2. Решаем эту же задачу в неинерциальной
системе отсчета, связанной с кабиной.
Тогда решение абсолютно идентично
решению задачи 15 с той лишь разницей,
что ускорение g заменяется
относительным (или эквивалентным)
ускорением g' = g
– a , что в скалярном
виде дает выражение g' = g
+ a (рис. 16). Тогда
получаем тот же результат
=
=
.
Ответ: угловая скорость вращения шарика стала равной 4,1 с-1, а частота вращения увеличилась до 39 об/мин.
Задача 17. Полая сфера радиусом R = 25 см вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр сферы (рис. 17). Внутри сферы находится маленький шарик, вращающийся вместе с ней. Определить высоту, на которую поднимается шарик при частоте вращения, равной
n
= 110 об/мин =
об/с.
Решение
Вращение шарика в сфере фактически является о коническим маятником. Значит и решение аналогично решению предыдущих задач. Но мы рассмотрим
еще
один вариант решения подобных задач.
По условию шарик неподвижен относительно сферы. Значит, шарик движется по окружности с центром в точке О2.
На шарик действуют две силы: mg и сила реакции опоры N. Равнодействующая сил N и mg направлена согласно второму закону Ньютона, как и нормальное ускорение аn, т. е. к центру O2.
На рис 15 треугольник,
образованный векторами сил, и
треугольник «геометрический» О2AО1
с катетом О2А.
Из подобия этих треугольников можно
получить уравнение для искомой
величины. Из подобия треугольников
следует, что
=
,
где R
– радиус сферы, h
– искомая высота подъема, r
– радиус окружности; (R-
h)an
= rg,
h
= R
-
.
Так как аn
= ω2r
= (2πn)2r,
h
= R
–
=
17,4 см.
Ответ: 17,6 см.
З
адача
18. Космонавты,
высадившиеся на поверхности Марса,
измерили период вращения конического
маятника, оказавшийся равным Т = 3 с.
Длина нити L=
1 м. Угол, образованный нитью с вертикалью,
равен α =30o.
Найдите по этим данным ускорение
свободного падения на Марсе.
Решение
Тело движется по окружности
радиусом Lsin
α с угловой скоростью
и с ускорением a
= (
)2
Lsin
α.
На тело массой m действуют сила натяжения нити FH и сила тяготения, равная mg', где g' — ускорение свободного падения на Марсе.
Уравнение движения тела
имеет вид FH
+ mg'
= ma.
Из рисунка видно, что
=
tg
α
или
=
tg
α.
Подставив в последнее равенство выражение для а, находим ускорение свободного падения на Марсе: g '= ( )2 Lcosα ≈ 3,8 м/с2.
Задача
19. На гладкой наклонной
плоскости с углом наклона α к горизонту
в точке О
закреплена нить длиной l;
к другому концу нити
привязан небольшой шарик.
В начальный момент шарик находится
в положении равновесия
в точке А (рис. 19). Какую
минимальную скорость
надо сообщить шарику в точке
А вдоль наклонной
плоскости в горизонтальном направлении,
чтобы
шарик совершил полный оборот, двигаясь
по окружности?
Решение
Шарик сможет совершить полный оборот,
если в верхней точке натяжение нити
будет больше или равно 0. Минимальная
скорость в точке А соответствует Т=0 в
верхней точке траектории. Для верхней
точки траектории динамическое уравнение
имеет вид mg sin
α + T = m
или mg sin
α = m
при Т= 0; v2 = glsin
α.
Тогда
в нижней точке по закону сохранения
энергии относительно горизонтали,
проведенной через точку А, принятой за
нулевой потенциальный уровень, m
+
2mgl sin
α=m
;
vA2
= 5gl
sin α. Отсюда
.
З
адача
20. Максимально
допустимая скорость автомобиля при
прохождении поворота на горизонтальной
дороге радиусом R=100
м равна 36 км/ч. Какова должна быть
максимальная скорость прохождения
автомобилем такого же поворота с таким
же дорожным покрытием, если дорога
наклонена под углом 30° к горизонту?
Решение
Так как максимально допустимая
скорость движения автомобиля на повороте
радиуса R
равна (см. задачу 1)
=
10 м/с, находим коэффициент трения колес
о дорожное покрытие μ = 0,1.
На автомобиль действуют: сила тяжести mg, реакция плоскости N, сила трения Fтр= μN.
Спроецируем силы на указанные на рисунке 20 координатные оси Х и У: Ncos α + Fтрsin α = mg; или N (cos α+ μ sin α) = mg;
-N sin α + μ Ncos α= -m ; или N (sin α - μ cos α)= m .
Поделив уравнения друг на
друга почленно, получаем
м/с.
Ответ: максимальная скорость прохождения автомобилем наклонного поворота 76 км/ч.
Итак, задачи подобного типа могут быть усложнены наличием разных по природе и направлению сил. Обязательным при решении должен быть выбор удобной системы отсчета (инерциальной или неинерциальной) и системы координат, на оси которой нужно спроецировать все действующие на тело силы (или равнодействующую всех этих сил). Это позволит составить динамические уравнения. А решение этих уравнений может быть различным – как алгебраическим, так и геометрическим. Важно только знать и правильно применять условия возникновения тангенциального и нормального ускорений.