Лабораторная работа № 2.14. Определение универсальной газовой постоянной r

Цель работы: экспериментальное определение универсальной газовой постоянной R, используя в качестве идеального газа воздух при комнатной температуре, определение числа молекул в единице объёма, среднего числа столкновений и средней длины свободного пробега молекул при различных давлениях.

Оборудование: стеклянная колба в тканевом мешочке, электронные весы, манометр, насос Комовского, тройник, резиновые соединительные трубки, зажим металлический.

1. Основные понятия и определения

Состояние некоторой массы газа определяется значением трёх основных параметров: давлением p, температурой T, объёмом V. Уравнение состояния идеального газа Клапейрона – Менделеева имеет вид:

, (1)

где: – число молей, – молярная масса газа, N – число частиц, R – универсальная газовая постоянная, равная 8,31441 Дж/мольּ К. Молярная масса численно равна массе одного моля, т.е. массе N_А= 6,02ּ10²³ моль^-1 частиц данного вещества. Число N_А называется числом Авогадро и может быть определено так:

(2)

где m₀ – масса молекулы. В системе СИ размерность молярной массы [ ]=кг/моль. Молярная масса вещества, выраженная в «г/моль», совпадает с молекулярной массой, т.е. массой молекулы, выраженной в атомных единицах массы (а.е.м.).

Атомная единица массы равна 1/12 массы изотопа углерода C¹², что в единицах системы СИ составляет 1,66057ּ10^-27 кг, т.е.

.

Так, масса молекулы кислорода в атомных единицах равна: m₀=32 а.е.м. Масса молекулы кислорода, выраженная в граммах, равна m₀=32ּ1,66ּ10^-24 г. Молярная масса кислорода .

В связи со сказанным, отметим, что число, стоящее внизу символа химического элемента периодической системы Менделеева выражает: 1) массу атома в атомных единицах массы (а.е.м.); 2) массу одного моля атомов данного вещества, выраженную в граммах (г/моль).

Очевидно, что для одного моля газа уравнения (1) примет вид:

(3)

где – объём одного моля газа. С другой стороны, согласно основному уравнению молекулярно – кинетической теории, давление газа p равно:

(4)

где n – число молекул в единице объёма (концентрация), – средняя кинетическая энергия одной молекулы газа. Решая совместно (3) и (4) с учётом, что получим для средней кинетической энергии одной молекулы выражение:

(5)

где – постоянная Больцмана, = 1,380662 ּ10^-23 Дж/K.

2. Методика эксперимента

Воздух представляет собой смесь газов: 78,1% – азота, 21,% – кислорода и около 1% приходится на долю остальных газов. Результаты многочисленных опытов и расчётов показывают, что молярная масса сухого воздуха равна 0,029 кг/моль. Универсальную газовую постоянную можно найти, используя уравнение Клапейрона – Менделеева:

. (6)

Все параметры газа, входящие в это уравнение, можно измерить непосредственно, за исключением массы газа, так как взвешивание газа возможно только с сосудом, в котором он заключён. Поэтому для определения R с помощью уравнения (1) необходимо при взвешивании газа исключить массу сосуда. Это можно сделать, рассмотрев уравнение состояния двух масс одного и того же газа при неизменных тепературе Т и объёме V:

, . (7)

Совместное решение этих уравнений даёт следующий результат:

(8)

Следовательно, если определить давление р₁ и температуру Т для некоторой массы газа m₁, заключённого в сосуд объёмом V, затем изменить массу газа до некоторой величины m₂ (например, путём откачки или накачки) и вновь определить давление р₂ при той же температуре Т, то по формуле (8) легко рассчитать универсальную газовую постоянную R.

Известно, что давление смеси идеальных газов р связано с температурой Т и концентрациями газов законом Дальтона:

p=n₁kT+n₂ kT+…+n_rkT=(n₁+n₂+…+n_r)kT=nkT, (9)

где n – концентрация молекул воздуха в данном объёме.

Манометр измеряет разницу Δр между атмосферным давлением р₁ и давлением в колбе р₂. Рассчитав давление в колбе р₂:

р₂=Δp+р₁, (при накачке) (10)

р₂=р₁ – Δp (при откачке),

можно найти концентрацию молекул воздуха n в колбе из формулы (9):

. (11)

Длина свободного пробега определяется известной формулой:

(12)

где – средняя скорость молекулы воздуха, равная:

(13)

где z – среднее число столкновений молекулы в единице объёма в секунду, равное:

(14)

где d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация газа. Подставив (14) в (12), можно получить среднюю длину свободного пробега молекул воздуха:

(15)

где d=0,374 нм – эффективный диаметр молекул воздуха.

Явления переноса в идеальном газе можно характеризовать коэффициентом самодиффузии D:

(16)

Очевидно, что D обратно пропорционален давлению газа, поскольку

Коэффициент вязкости :

(17)

где m₀ – масса молекулы газа, – плотность газа.

Коэффициент теплопроводности :

(18)

где Cv – удельная теплоёмкость.

Коэффициент вязкости и теплопроводности не зависят от давления, т.к. в произведении давление сокращается. Все три коэффициента: D, , согласно формулам (16-18) должны меняться пропорционально квадратному корню из температуры (т.к. ). В действительности эти коэффициенты растут с повышением температуры несколько быстрее, чем , т.к. с ростом температуры уменьшается эффективное поперечное сечение молекул и поэтому растёт длина свободного пробега.

Очевидно, что между коэффициентами D, , существуют простые соотношения: