Тема III. Системы дифференциальных уравнений. §1. Интегрирование системы дифференциальных уравнений сведением к одному уравнению более высокого порядка.

Пусть дана система дифференциальных уравнений

(1.1)

Решением системы (1.1) называется n-мерная вектор-функция , при подстановке компонент которой в (1.1) получается n тождеств.

Одним из самых распространённых методов решения системы (1.1) является метод сведения её к одному уравнению более высокого порядка. Заключается он в следующем: из уравнений системы (1.1) и уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в (1.1), исключают все неизвестные компоненты вектор-функции, кроме одной, для нахождения которой получают тем самым одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Путём интегрирования полученного уравнения находят одну из компонент искомого решения системы. Затем, используя уравнения системы (1.1) и уравнения, полученные при поиске одной компоненты, находят остальные компоненты решения.

Пример 1. Проинтегрировать сведением к одному уравнению систему

(1.2)

Решение. Дифференцируем второе уравнение:

. (1.3)

Подставляем из первого уравнения системы (1.2) в (1.3):

,

или

. (1.4)

Из второго уравнения системы (1.2) находим x

(1.5)

и, подставляя его в уравнение (1.4), получаем

или

. (1.6)

Уравнение (1.6) является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентами. Соответствующее ему характеристическое уравнение:

Следовательно, решение этого однородного уравнения имеет вид:

Тогда

Итак,

Мы опускаем строгое обоснование метода сведения системы дифференциальных уравнений к одному уравнению.

§2. Системы линейных дифференциальных уравнений.

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если уравнения системы линейны относительно всех компонент неизвестной вектор-функции и их производных, т.е. имеют вид:

(2.1)

Обозначаем

, , ,

Тогда систему (2.1) можно переписать в виде

(2.2)

Если в системе (2.2) , то система (2.2) называется системой линейных однородных дифференциальных уравнений.

Приводим без доказательства следующее утверждение.

Теорема (о структуре общего решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений).

Пусть дана система линейных однородных дифференциальных уравнений

, (2.3)

где функции непрерывны на , и пусть - линейно независимые на решения системы (2.3). Тогда общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2.3) имеет вид:

где – произвольные постоянные.

Любые n линейно неизвестных частных решений системы (2.3) называются её фундаментальной системой решений.

Пусть дана система

, (2.4)

где - действительные числа.

Так как постоянные непрерывны на любом отрезке , то применима сформулированная выше теорема.

Частные решения системы (2.4) составляющие фундаментальную систему решений, ищем в виде

(2.5)

Подставляем (2.5) в уравнение (2.4):

или

(2.6)

Система (2.6) – система n линейных алгебраических однородных уравнений относительно . Она имеет нетривиальные решения, если

(2.7)

Уравнение (2.7) называется характеристическим уравнением для системы (2.4), а его корни – характеристическими корнями системы (2.4).

Случай 1. Характеристические корни уравнения (2.7) действительны и различны, их ровно n штук. Пусть это числа . Подставляя в (2.6) находим соответствующие Фундаментальную систему решений составляет вектор-функция (доказательство линейной независимости опускаем). Тогда по приведённой теореме общее решение системы уравнений (2.4) имеет вид:

Пример 2. Решить систему уравнений

(2.8)

Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:

или

Частные решения ищем в виде

и

Подставляем в систему (2.8):

Пусть , тогда .

Аналогично находим

Пусть , тогда .

Итак, общее решение системы (2.8):

Случай 2. Среди характеристик корней уравнения (2.7) есть комплексные. Пусть комплексно-сопряжённые числа и являются корнями характеристического уравнения (2.7). В этом случае вместо комплекснозначных вектор-функций и в фундаментальную систему решений включаем функции и (тот факт, что - решения и линейно независимы, принимаем без доказательства).

Тогда по теореме общее решение системы уравнений (2.4) имеет вид:

Пример 3. Решить систему уравнений

(2.9)

Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:

или

.

Частные решения ищем в виде

Подставляем в систему (2.8):

.

Пусть , тогда – частное решение (2.9).

Значит , . Имеем:

Таким образом, общее решение системы (2.9):

Случай 3. Среди характеристических корней уравнения (2.7) есть кратные. Пусть характеристический корень имеет кратность r. Частные решения, входящие в фундаментальную систему решений и соответствующие корню , ищем в виде:

Тогда общее решение системы уравнений (2.4) будет иметь вид:

Пример 4. Решить систему уравнений

(2.10)

Решение. Записываем соответствующее характеристическое уравнение:

или

.

Решение системы (2.10) ищем в виде:

(2.11)

Подставляем (2.11) в систему (2.10):

или

Отсюда

тогда

Итак, общее решение системы (2.10):

Описанный метод нахождения решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений (2.4) называется методом собственных векторов.