Приложение 2 анализ и синтез гармонического сигнаЛа в базисе функций уолша
Анализ.
Найти спектр
колебания
,
.
Интервал ортогональности (разложения)
в данном примере следует приравнять
периоду синусоиды
.
При переходе к безразмерному времени
имеем
.
Как следует из формулы (2.3), коэффициент
– это площадь подынтегральной функции,
представляющей собой произведение
сигнала
на ФУ
.
Само же произведение
– это стробирование синусоиды n-й
функцией Уолша.
Для 16 ФУ произведения вида
показаны на рис. П.2.1. Поскольку
синусоида нечетна относительно точки
,
площади и,
следовательно, коэффициенты при всех
четных ФУ равны нулю. Далее из
оставшихся восьми произведений четыре
также дадут нулевые площади и коэффициенты.
Это соответствует ФУ
,
,
и
из-за их нечетности и четности
относительно точек
и
.
Таким образом, лишь четыре коэффициента
,
,
и
не равны нулю. Определим эти коэффициенты
по формуле (2.3) с учетом рис. П.2.1:
,
–
=
= –
= – 0.265
,
0 1/4 1/2 ¾
1
0 1/4 1/2 3/4 1
Рис. П.2.1.
Произведение
–
+
+
= – 0.052
,
–
+
+
–
= – 0.128
.
Спектр синусоиды (для
)
в базисе шестнадцати ФУ представлен на
рис. П.2.2.
Рис. П.2.2. Спектр синусоиды
Синтез. В соответствии с формулой
(2.4) и по найденным ранее коэффициентам
имеем (для
:
+
+
+
=
= 6.36
–
2.65
–
0.52
– 1.28
.
На рис. П.2.3 приведены графики исходного сигнала (штриховая линия) и синтезированного в базисе 8 (пунктирная) и 16 ФУ (сплошная).
Рис. П.2.3. Исходный и синтезированный сигналы
Мощность исходного сигнала
=
=
= 50 В2.
Мощность синтезированного (аппроксимированного) сигнала
=
= 49.3809 В2.
Относительная ошибка синтеза
= 1 – 0.9876 = 0.0124 (1.24 %).
При синтезе в базисе 8 ФУ относительная ошибка синтеза составила бы всего 5.06 %.
Приложение 3 нормальный (гауссовский) случайный процесс
Большое число различных по своей природе случайных величин (СВ) имеет нормальное распределение или близкое к нормальному. Объясняется это тем, что при суммировании большого числа независимых или слабо зависимых СВ распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых. Это положение сформулировал А.М. Ляпунов, и оно называется центральной предельной теоремой.
Нормальный закон используется во всех областях человеческих знаний и в том числе в радиотехнике. Примерами СП с нормальным распределением являются различные шумы (тепловые – в проводниках, «дробовые» – в электронных приборах и др.), а также различные помехи в каналах связи (рис. П.3.1, а).
а б
Рис. П.3.1. Шумы
Плотность вероятности и функция распределения (рис. П.3.2):
,
,
где
– относительное отклонение случайной
величины
;
следовательно,
;
– плотность вероятности с единичной
дисперсией;
– табулированный интеграл вероятности
.
а б
Рис. П.3.2. Плотность вероятности (а) и функция рас- пределения (б) нормального СП