Завдання 5

Для складових перерізів, наведених на схемах рис. 4.6 потрібно визначити:

• розташування головних центральних осей інерції і розрахувати головні центральні моменти інерції симетричного перерізу:

• розташування головних центральних осей інерції і розрахувати головні центральні моменти інерції несиметричного перерізу, видаливши при цьому з перерізу один із двох прокатних профілів;

• переріз викреслити в масштабі на міліметрівці і нанести на креслення головні центральні вісі інерції.

Дані взяти з табл. 4.1

Таблиця 4.1 Розміри, мм

Номер схеми	Прямокутник, см		Кутник,см	Швелер, N	Двотавр, N
	b	h
0	2	18	100*100*10	10	10
I	3	20	100*100*14	12	12
II	2	18	140*140*10	14	14
III	2.5	22	140*140*12	16	16
IV	1.5	16	160*160*10	18	18
V	2	20	110*110*8	20	20
VI	2.5	20	180*180*12	10	12
VII	2	24	125*125*10	16	14
VIII	1.5	20	160*160*16	18	16
IX	2	28	125*125*14	14	18

Рис.4.6

Приклад розв’язання :

а) Симетричний переріз (рис. 4.7а)

Як видно з рисунка, переріз складається з прямокутника розмірами 20 х 160 мм і двох рівнобічних кутників 100 х 100 х 10 мм.

По сортаменту беремо необхідні для подальшого розрахунку параметри кутника. Його площа А₂ = 19,2см²; момент інерції цієї площі ; розміщення центру ваги кутника визначається розмірами які приведені на рис. 4.7а, які теж взяті по сортаменту.

Розрахунки проводимо в наступній послідовності:

1. Визначаємо координати центра ваги всього перерізу в системі осей Вісь є центральною для однієї частини перерізу і це спрощує розрахунки.

Як відомо координати центра ваги площі визначаються за формулами:

де А – площі простих частин, на які розбита дана площа;

– координати центрів ваги даних частин загальної площі в тій системі координатних осей, в якій визначаємо розташування центра ваги.

В даному випадку переріз має вертикальну вісь симетрії , центр ваги повинен лежати на цій вісі і тому його координата .

Визначаємо другу координату центру ваги перерізу. Площа перерізу розбита на 3 частини – прямокутник і два кутника. Позначимо А₁ – площа лівого кутника, А₂ – площа прямокутника, А₃ – площа правого кутника. Координати центрів ваги цих площ див. рис. 4.7а.

Таким чином, координати центру ваги перерізу точки С

Відомо, що вісь симетрії завжди є головною віссю. Будь-яка перпендикулярна до неї вісь є другою головною віссю. Тому вісі х і у які проходять через центр ваги (вісь симетрії) – головні центральні вісі інерції площі перерізу.

2. Визначаємо головні центральні моменти інерції перерізу : ,

де – моменти інерції відносно вісі Х відповідних складових частин перерізу. Для їх визначення використаємо формули переходу для моментів інерції при паралельному переносі осей:

– момент інерції прямокутника відносно його центральної вісі , паралельної до вісі х;

– відстані між віссю х і відповідно осями , ; величини цих відстаней див. рис. 4.7а.

, оскільки

Отже:

Аналогічно розраховуємо :

Так як головна вісь всього перерізу у співпадає з віссю у2 то:

;

;

;

Головні центральні моменти даного перерізу: , .

а)

б)

Рис. 4.7

б) Несиметричний переріз (отримаємо, забравши наприклад, лівий кутник) (рис. 4.7,б).

3.Визначаємо розташування центру ваги перерізу в системі координатних осей ;

де – площі частин перерізу, відповідно кутника і прямокутника.

– відстані центра ваги частин перерізу до вісі(див. рис. 4.7,б).

;

.

Отже, центр ваги перерізу (точка С) має координати , .

Проведемо центральні вісі Х і Y та визначимо відносно цих осей осьові і і відцентровий моменти інерції.

де – момент інерції 1 частини перерізу, кутника, відносно осі х;

– момент інерції 2 частини, прямокутника.

Знову використовуємо формулу переходу для моментів інерції при паралельному перенесенні осей:

(з сортаменту),

– відстань між паралельними осями і (див. рис. 4.7б).

.

Момент інерції прямокутника відносно його центральної вісі:

Відстань між осями х і х₂: .

,

.

Аналогічно визначаємо Іу:

;

.

Для рівностороннього кутника .

;

;

.

Розрахуємо відцентровий момент інерції :

;

.

Відцентровий момент інерції кутника відносно його відцентрових осей х₁ і у₁, визначимо, знаючи (з сортаменту) його головні центральні моменти інерції і , тобто моменти інерції кутника відносно його головних центральних осей і . Відцентровий момент інерції кутника відносно цих (головних) осей дорівнює нулю.

Вісь х₀ є віссю симетрії кутника, вона як бісектриса прямого кута нахилена до його сторін під кутом 45°. Тому вісі х₁ і у₁ повернуті відносно осей і на кут 45°. Кут повороту вважаємо від’ємним, оскільки вісі х₁ і у₁ повернуті відносно осей і за стрілкою годинника.

В даному випадку ми використовуємо формулу переходу для центрального моменту інерції при поверненні осей (див. п.5 цього розділу).

Оскільки вісі і для кутника головні, (як зазначалося вище).

, (по сортаменту), α = -45°

Тепер визначимо відцентровий момент інерції кутника відносно осей х і у.

Тут необхідно врахувати, що при розрахунку осьових моментів інерції за формулами паралельного переносу знак відстані між осями не має значення, так як ці відстані підводяться до квадрату. В даному випадку , , оскільки центр ваги кутника в системі осей х і у розташований в ІІІ квадраті і тому його координати мають вказані знаки.

.

Для прямокутника вісі х₂, у₂ є осями симетрії, тобто головними осями, і тому ; , . Знаки цих величин визначаються тим, що центр ваги О₂ прямокутника лежить в системі осей х, у в ІІ квадраті, де будь-яка точка має такі знаки координат.

;

.

Визначаємо положення головних центральних осей інерції всього перерізу:

;

Звідси 2α₀=40°; α₀=20°

Оскільки α₀ додатній, головні вісі U i V повернуті відносно осей Х і У на кут 20° проти стрілки годинника (рис.4.7б).

4 Визначаємо головні центральні моменти інерції всього перерізу І_u i I_v:

Для перевірки розрахуємо відцентровий момент відносно осей U i V

Відцентровий момент інерції відносно головних осей U i V повинен дорівнювати нулю, що нами і отримано.

Отже, головні відцентрові моменти інерції перерізу: Головні центральні вісі U i V повернуті відносно центральних осей Х і У на кут α₀=20° проти стрілки годинника.