Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
46.1
Вычислить пределы
,
,
:
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
46.2.
Вычислить пределы
,
,
:
а)
;
б)
;
в)
.
46.3. Исследовать на непрерывность функции в точке (0;0):
а)
;
б)
;
в)
46.4. Найти и исследовать все точки разрыва функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
47.1. Найти частные производные первого порядка следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
47.2. Найти частные производные первого и второго порядков следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
47.3. Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
47.4. Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
47.5.
Найти дифференциалы первого и второго
порядков от следующих сложных функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
48.1. Написать уравнения касательной плоскости к поверхности:
а)
в точке (1;-2;3);
б)
в точке (2;3;2);
в)
в точке (1;1;1);
г)
в точке (3;4;1c).
48.2.
Определить плоскость, касательную к
поверхности
и параллельную плоскости
.
48.3.
Написать уравнения нормали в точке (2;
-1; 4) к поверхности конуса
.
48.4.
Найти углы с осями координат нормали к
поверхности
в точке (0; 2;-3).
48.5.
Написать уравнения нормали к поверхности
в точке (2; 5; 1).
48.6.
Найти углы с осями координат нормали к
поверхности
в точке (3;3; 0)
48.7
В какой точке касательная плоскость к
поверхности
параллельна:
1) плоскости хОу;
2)
плоскости
;
Написать уравнения этих касательных плоскостей.
Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
49.1
Пусть
.
Построить линии уровней и grad
u
в точке А(3;2).
49.2.
Пусть
. Построить линии уровней и grad
u:
а)
в любой точке прямой
;
б)
в любой точке прямой
.
49.3.
Найти градиент функции
в точке А(4;-2;7).
49.4.
Найти производную функции
в
точке (1;1;1) в направлении вектора
,
и найти grad
u
в той же точке и его длину. Построить
поверхности уровней.
49.5.
Найти производную функции
в точке (2;3; 4) в направлении радиус-вектора
этой точки.
49.6.
Построить линии уровня функции
, проходящей через точку А(4;4). Построить
grad
u(4;
4)
и убедиться, что он перпендикулярен
линии уровня.
49.7.
Для функции
построить линии уровня и градиент.
Сравнить их направления в точках (2;2) и
(2;-2).
49.8. Найти угол между градиентами функции u в точках А и В, если:
а)
;
б)
.
Занятие № 50.
Исследование функций нескольких переменных на экстремум.
50.1. Найти стационарные точки и исследовать на экстремум следующие функции:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
50.2. Исследовать на экстремум следующие функции нескольких переменных:
а)
:
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
.
Занятие № 51.
Условный экстремум функций нескольких переменных.
51.1. Методом подстановки найти точки условного экстремума следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
51.2. Методом множителей Лагранжа найти точки условного экстремума следующих функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
.
Занятие № 52.
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функций нескольких переменных.
52.1. Найти наибольшее или наименьшее значения следующих функций на заданном множестве:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
.
52.2. Найти расстояние между кривой
и
прямой
.
52.3.
Найти точку, сумма квадратов расстояний
от которой до прямых
наименьшее.
52.4. Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда с заданной площадью его поверхности S.
52.5. Определить размеры прямоугольного параллелепипеда данного объема V, имеющего наименьшую площадь поверхности.
52.6. Из всех конусов с данной боковой поверхностью S найти конус с наибольшим объемом.
52.7. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.