Закон больших чисел в форме теоремы Чебышева
Пусть есть набор случайных величин
для
.
Составим случайную величину
.
Тогда
при
.
Теорема Чебышева: При
достаточно большом числе независимых
опытов, среднее арифметическое измеренных
значений случайной величины сходится
по вероятности к их математическому
ожиданию, т.е. для
и
при
будет
.
Пусть
.
Тогда
(см. выше). По неравенству Чебышева
.
Тогда, т.к.
,
то
при
будет
и
,
т.е.
.
Обобщённая теорема Чебышева и теорема Маркова
Теорема Чебышева: Если
– независимые случайные величины с
математическими ожиданиями
и дисперсиями
и если дисперсии ограничены сверху
одним и тем же числом L
(т.е.
для
),
то при возрастании числа опытов
(по вероятности)
,
т.е. для
и
для
будет
.
Пусть
.
Тогда
.
По неравенству Чебышева,
.
Т.к.
при
,
то
для
будет
.
Теорема Маркова: Если
имеются зависимые величины
,
и если при
,
то
( по вероятности)
(т.е для
и
для
будет
).
Пусть
.
Тогда
.
Т.к.
,
то
для
будет
,
следовательно,
.
Характеристические функции
Характеристической функцией
величины X
называется функция
(здесь
).
Если X – дискретная
величина, то
,
иначе
– фактически, преобразование Фурье.
Обратное преобразование –
.
Основные свойства характеристических функций
.
.
,
если
независимы.
.
.
/
Теорема единственности: Функция распределения однозначно определяется своей характеристической функцией и наоборот.
Центральная предельная теорема для суммы одинаково распределённых слагаемых
Теорема Ляпунова: Если
– независимые случайные величины,
имеющие один и тот же закон распределения
с математическим ожиданием m
и дисперсией
,
то при неограниченном увеличении закон
распределения величины
стремится к нормальному.
.
Пусть
.
Тогда
и
Характеристическая функция
.
Введём для удобства переменную
и разложим
в ряд в окрестности точки
,
где
.
При этом
.
Можно перенести начало координат в
точку
и тогда
.
Таким образом,
или
и тогда
при
.
Математическая статистика
Генеральной совокупностью называют всю первоначальную совокупность объектов, а выборкой или выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.
Объём совокупности – это число объектов в ней.
Совокупность измеренных значений величины X называют простой статистической совокупностью или статистическими данными.
Полигоном частот называют
ломаную, соединяющую точки
,
где
– частота появления величины
.
Полигоном относительных
частот называют ломаную, соединяющую
точки
,
где
– относительная частота появления
величины
,
N
– объём совокупности.